Theorem bnj1128 31058

Description: Technical lemma for bnj69 31078. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1128.1	|- ( ph <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
bnj1128.2	|- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
bnj1128.3	|- D = ( om \ { (/) } )
bnj1128.4	|- B = { f | E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) }
bnj1128.5	|- ( ch <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) )
bnj1128.6	|- ( th <-> ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) )
bnj1128.7	|- ( ta <-> A. j e. n ( j _E i -> [. j / i ]. th ) )
bnj1128.8	|- ( ph' <-> [. j / i ]. ph )
bnj1128.9	|- ( ps' <-> [. j / i ]. ps )
bnj1128.10	|- ( ch' <-> [. j / i ]. ch )
bnj1128.11	|- ( th' <-> [. j / i ]. th )

Assertion

Ref	Expression
bnj1128	|- ( Y e. trCl ( X , A , R ) -> Y e. A )

Distinct variable groups:   A, f, i, j, n, y   D, i, j, y   R, f, i, j, n, y   f, X, i, n, y   f, Y, i, n, y   ch, j   ph, i, y   th, j

Allowed substitution hints:   ph( f, j, n)   ps( y, f, i, j, n)   ch( y, f, i, n)   th( y, f, i, n)   ta( y, f, i, j, n)   B( y, f, i, j, n)   D( f, n)   X( j)   Y( j)   ph'( y, f, i, j, n)   ps'( y, f, i, j, n)   ch'( y, f, i, j, n)   th'( y, f, i, j, n)

Proof of Theorem bnj1128

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1128.1	. . . 4 |- ( ph <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
2		bnj1128.2	. . . 4 |- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
3		bnj1128.3	. . . 4 |- D = ( om \ { (/) } )
4		bnj1128.4	. . . 4 |- B = { f | E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) }
5		bnj1128.5	. . . 4 |- ( ch <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	bnj981 31020	. . 3 |- ( Y e. trCl ( X , A , R ) -> E. f E. n E. i ( ch /\ i e. n /\ Y e. ( f ` i ) ) )
7		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ i e. n /\ Y e. ( f ` i ) ) -> ch )
8		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ i e. n /\ Y e. ( f ` i ) ) -> i e. n )
9		bnj1128.7	. . . . . . . . 9 |- ( ta <-> A. j e. n ( j _E i -> [. j / i ]. th ) )
10		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j i e. n
11		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j A. j e. n ( j _E i -> [. j / i ]. th )
12	9, 11	nfxfr 1779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j ta
13		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j ch
14	10, 12, 13	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j ( i e. n /\ ta /\ ch )
15		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j ( f ` i ) C_ A
16	14, 15	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A )
17	16	nf5ri 2065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A ) -> A. j ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A ) )
18	3	bnj1098 30854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ n e. D ) -> ( j e. n /\ i = suc j ) )
19		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> i =/= (/) )
20		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> i e. n )
21	5	bnj1232 30874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> n e. D )
22	21	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> n e. D )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> n e. D )
24	19, 20, 23	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( i =/= (/) /\ i e. n /\ n e. D ) )
25	18, 24	bnj1101 30855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( j e. n /\ i = suc j ) )
26		ancl 569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) ) )
27	25, 26	bnj101 30789	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) )
28		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) <-> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) )
29	28	imbi2i 326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) ) <-> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) ) )
30	29	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. j ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) ) <-> E. j ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) ) )
31	27, 30	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) )
32		bnj213 30952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pred ( y , A , R ) C_ A
33	32	bnj226 30802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) C_ A
34		simp21 1094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> i e. n )
35		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> i = suc j )
36		biid 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n e. D <-> n e. D )
37		biid 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f Fn n <-> f Fn n )
38		bnj1128.8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph' <-> [. j / i ]. ph )
39		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- j e. _V
40		sbcg 3503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. _V -> ( [. j / i ]. ph <-> ph ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( [. j / i ]. ph <-> ph )
42	38, 41	bitr2i 265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph <-> ph' )
43		bnj1128.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ps' <-> [. j / i ]. ps )
44	2, 43	bnj1039 31039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ps' <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
45	2, 44	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ps <-> ps' )
46	36, 37, 42, 45	bnj887 30835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph' /\ ps' ) )
47		bnj1128.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch' <-> [. j / i ]. ch )
48	38, 43, 5, 47	bnj1040 31040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch' <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph' /\ ps' ) )
49	46, 5, 48	3bitr4i 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch <-> ch' )
50	48	bnj1254 30880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch' -> ps' )
51	49, 50	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ps' )
52	51	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> ps' )
53	52	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> ps' )
54		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> j e. n )
55	22	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> n e. D )
56	3	bnj923 30838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. D -> n e. om )
57		elnn 7075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. n /\ n e. om ) -> j e. om )
58	56, 57	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. n /\ n e. D ) -> j e. om )
59	54, 55, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> j e. om )
60	44	bnj589 30979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ps' <-> A. j e. om ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) )
61		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. j e. om ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) -> ( j e. om -> ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) )
62	60, 61	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ps' -> ( j e. om -> ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) )
63		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = suc j -> ( i e. n <-> suc j e. n ) )
64		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = suc j -> ( f ` i ) = ( f ` suc j ) )
65	64	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = suc j -> ( ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) <-> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) )
66	63, 65	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = suc j -> ( ( i e. n -> ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) )
67	66	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = suc j -> ( ( j e. om -> ( i e. n -> ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( j e. om -> ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) ) )
68	62, 67	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = suc j -> ( ps' -> ( j e. om -> ( i e. n -> ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) ) )
69	35, 53, 59, 68	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> ( i e. n -> ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) )
70	34, 69	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) )
71	33, 70	bnj1262 30881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> ( f ` i ) C_ A )
72	31, 71	bnj1023 30851	. . . . . . . . . . . . 13 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( f ` i ) C_ A )
73	5	bnj1247 30879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ph )
74	73	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> ph )
75		bnj213 30952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pred ( X , A , R ) C_ A
76		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = (/) -> ( f ` i ) = ( f ` (/) ) )
77	1	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
78	76, 77	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i = (/) /\ ph ) -> ( f ` i ) = pred ( X , A , R ) )
79	75, 78	bnj1262 30881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = (/) /\ ph ) -> ( f ` i ) C_ A )
80	74, 79	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( f ` i ) C_ A )
81	72, 80	bnj1109 30857	. . . . . . . . . . . 12 |- E. j ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A )
82	17, 81	bnj1131 30858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A )
83	82	3expia 1267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. n /\ ta ) -> ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) )
84		bnj1128.6	. . . . . . . . . 10 |- ( th <-> ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) )
85	83, 84	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. n /\ ta ) -> th )
86	3, 5, 9, 85	bnj1133 31057	. . . . . . . 8 |- ( ch -> A. i e. n th )
87	84	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. n th <-> A. i e. n ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) )
88	86, 87	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ch -> A. i e. n ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) )
89		rsp 2929	. . . . . . 7 |- ( A. i e. n ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) -> ( i e. n -> ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) ) )
90	88, 89	syl 17	. . . . . 6 |- ( ch -> ( i e. n -> ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) ) )
91	7, 8, 7, 90	syl3c 66	. . . . 5 |- ( ( ch /\ i e. n /\ Y e. ( f ` i ) ) -> ( f ` i ) C_ A )
92		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( ch /\ i e. n /\ Y e. ( f ` i ) ) -> Y e. ( f ` i ) )
93	91, 92	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ( ch /\ i e. n /\ Y e. ( f ` i ) ) -> Y e. A )
94	93	2eximi 1763	. . 3 |- ( E. n E. i ( ch /\ i e. n /\ Y e. ( f ` i ) ) -> E. n E. i Y e. A )
95	6, 94	bnj593 30815	. 2 |- ( Y e. trCl ( X , A , R ) -> E. f E. n E. i Y e. A )
96		19.9v 1896	. . 3 |- ( E. f E. n E. i Y e. A <-> E. n E. i Y e. A )
97		19.9v 1896	. . 3 |- ( E. n E. i Y e. A <-> E. i Y e. A )
98		19.9v 1896	. . 3 |- ( E. i Y e. A <-> Y e. A )
99	96, 97, 98	3bitri 286	. 2 |- ( E. f E. n E. i Y e. A <-> Y e. A )
100	95, 99	sylib 208	1 |- ( Y e. trCl ( X , A , R ) -> Y e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   _E cep 5028   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   omcom 7065   /\ w-bnj17 30752   predc-bnj14 30754   trClc-bnj18 30760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fn 5891  df-fv 5896  df-om 7066  df-bnj17 30753  df-bnj14 30755  df-bnj18 30761

This theorem is referenced by:  bnj1127  31059