Theorem elnn 7075

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	|- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7074	. 2 |- Ord om
2		ordtr 5737	. 2 |- ( Ord om -> Tr om )
3		trel 4759	. 2 |- ( Tr om -> ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om ) )
4	1, 2, 3	mp2b 10	1 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   Tr wtr 4752   Ord word 5722   omcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066

This theorem is referenced by:  nnaordi  7698  nnmordi  7711  pssnn  8178  ssnnfi  8179  unfilem1  8224  unfilem2  8225  inf3lem5  8529  cantnflt  8569  cantnfp1lem3  8577  cantnflem1d  8585  cantnflem1  8586  cnfcomlem  8596  cnfcom  8597  infpssrlem4  9128  axdc3lem2  9273  pwfseqlem3  9482  bnj1098  30854  bnj517  30955  bnj594  30982  bnj1001  31028  bnj1118  31052  bnj1128  31058  bnj1145  31061  elhf2  32282  hfelhf  32288