Theorem caragenuncllem 40726

Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caragenuncllem.o	|- ( ph -> O e. OutMeas )
caragenuncllem.s	|- S = (CaraGen ` O )
caragenuncllem.e	|- ( ph -> E e. S )
caragenuncllem.f	|- ( ph -> F e. S )
caragenuncllem.x	|- X = U. dom O
caragenuncllem.a	|- ( ph -> A C_ X )

Assertion

Ref	Expression
caragenuncllem	|- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i ( E u. F ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( E u. F ) ) ) ) = ( O ` A ) )

Proof of Theorem caragenuncllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caragenuncllem.o	. . . . . 6 |- ( ph -> O e. OutMeas )
2		caragenuncllem.s	. . . . . 6 |- S = (CaraGen ` O )
3		caragenuncllem.x	. . . . . 6 |- X = U. dom O
4		caragenuncllem.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. S )
5		caragenuncllem.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ X )
6	5	ssinss1d 39214	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A i^i ( E u. F ) ) C_ X )
7	1, 2, 3, 4, 6	caragensplit 40714	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O ` ( ( A i^i ( E u. F ) ) i^i E ) ) +e ( O ` ( ( A i^i ( E u. F ) ) \ E ) ) ) = ( O ` ( A i^i ( E u. F ) ) ) )
8	7	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i ( E u. F ) ) ) = ( ( O ` ( ( A i^i ( E u. F ) ) i^i E ) ) +e ( O ` ( ( A i^i ( E u. F ) ) \ E ) ) ) )
9		inass 3823	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i ( E u. F ) ) i^i E ) = ( A i^i ( ( E u. F ) i^i E ) )
10		incom 3805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E u. F ) i^i E ) = ( E i^i ( E u. F ) )
11		inabs 3855	. . . . . . . . . 10 |- ( E i^i ( E u. F ) ) = E
12	10, 11	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( ( E u. F ) i^i E ) = E
13	12	ineq2i 3811	. . . . . . . 8 |- ( A i^i ( ( E u. F ) i^i E ) ) = ( A i^i E )
14	9, 13	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i ( E u. F ) ) i^i E ) = ( A i^i E )
15	14	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( O ` ( ( A i^i ( E u. F ) ) i^i E ) ) = ( O ` ( A i^i E ) )
16		incom 3805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ E ) i^i F ) = ( F i^i ( A \ E ) )
17		indifcom 3872	. . . . . . . . . 10 |- ( F i^i ( A \ E ) ) = ( A i^i ( F \ E ) )
18	16, 17	eqtr2i 2645	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i ( F \ E ) ) = ( ( A \ E ) i^i F )
19	18	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ E ) i^i F ) = ( A i^i ( F \ E ) )
20		difundir 3880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E u. F ) \ E ) = ( ( E \ E ) u. ( F \ E ) )
21		difid 3948	. . . . . . . . . . 11 |- ( E \ E ) = (/)
22	21	uneq1i 3763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E \ E ) u. ( F \ E ) ) = ( (/) u. ( F \ E ) )
23		0un 39215	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) u. ( F \ E ) ) = ( F \ E )
24	20, 22, 23	3eqtrri 2649	. . . . . . . . 9 |- ( F \ E ) = ( ( E u. F ) \ E )
25	24	ineq2i 3811	. . . . . . . 8 |- ( A i^i ( F \ E ) ) = ( A i^i ( ( E u. F ) \ E ) )
26		indif2 3870	. . . . . . . 8 |- ( A i^i ( ( E u. F ) \ E ) ) = ( ( A i^i ( E u. F ) ) \ E )
27	19, 25, 26	3eqtrri 2649	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i ( E u. F ) ) \ E ) = ( ( A \ E ) i^i F )
28	27	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( O ` ( ( A i^i ( E u. F ) ) \ E ) ) = ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) )
29	15, 28	oveq12i 6662	. . . . 5 |- ( ( O ` ( ( A i^i ( E u. F ) ) i^i E ) ) +e ( O ` ( ( A i^i ( E u. F ) ) \ E ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i E ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) )
30	29	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O ` ( ( A i^i ( E u. F ) ) i^i E ) ) +e ( O ` ( ( A i^i ( E u. F ) ) \ E ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i E ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) ) )
31		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i E ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i E ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) ) )
32	8, 30, 31	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i ( E u. F ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i E ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) ) )
33		difun1 3887	. . . . 5 |- ( A \ ( E u. F ) ) = ( ( A \ E ) \ F )
34	33	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( O ` ( A \ ( E u. F ) ) ) = ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) )
35	34	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( O ` ( A \ ( E u. F ) ) ) = ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) )
36	32, 35	oveq12d 6668	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i ( E u. F ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( E u. F ) ) ) ) = ( ( ( O ` ( A i^i E ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) ) )
37	5	ssinss1d 39214	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i E ) C_ X )
38	1, 3, 37	omexrcl 40721	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i E ) ) e. RR* )
39	1, 3, 37	omecl 40717	. . . . 5 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i E ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
40	39	xrge0nemnfd 39548	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` ( A i^i E ) ) =/= -oo )
41	38, 40	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i E ) ) e. RR* /\ ( O ` ( A i^i E ) ) =/= -oo ) )
42		caragenuncllem.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. S )
43	1, 2, 42, 3	caragenelss 40715	. . . . . 6 |- ( ph -> F C_ X )
44	43	ssinss2d 39228	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A \ E ) i^i F ) C_ X )
45	1, 3, 44	omexrcl 40721	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) e. RR* )
46	1, 3, 44	omecl 40717	. . . . 5 |- ( ph -> ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
47	46	xrge0nemnfd 39548	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) =/= -oo )
48	45, 47	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) e. RR* /\ ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) =/= -oo ) )
49	5	ssdifssd 3748	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A \ E ) C_ X )
50	49	ssdifssd 3748	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A \ E ) \ F ) C_ X )
51	1, 3, 50	omexrcl 40721	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) e. RR* )
52	1, 3, 50	omecl 40717	. . . . 5 |- ( ph -> ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
53	52	xrge0nemnfd 39548	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) =/= -oo )
54	51, 53	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) e. RR* /\ ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) =/= -oo ) )
55		xaddass 12079	. . 3 |- ( ( ( ( O ` ( A i^i E ) ) e. RR* /\ ( O ` ( A i^i E ) ) =/= -oo ) /\ ( ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) e. RR* /\ ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) =/= -oo ) /\ ( ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) e. RR* /\ ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) =/= -oo ) ) -> ( ( ( O ` ( A i^i E ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i E ) ) +e ( ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) ) ) )
56	41, 48, 54, 55	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( ( ( O ` ( A i^i E ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i E ) ) +e ( ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) ) ) )
57	1, 2, 3, 42, 49	caragensplit 40714	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) ) = ( O ` ( A \ E ) ) )
58	57	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i E ) ) +e ( ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) ) ) = ( ( O ` ( A i^i E ) ) +e ( O ` ( A \ E ) ) ) )
59	1, 2, 3, 4, 5	caragensplit 40714	. . 3 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i E ) ) +e ( O ` ( A \ E ) ) ) = ( O ` A ) )
60	58, 59	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i E ) ) +e ( ( O ` ( ( A \ E ) i^i F ) ) +e ( O ` ( ( A \ E ) \ F ) ) ) ) = ( O ` A ) )
61	36, 56, 60	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( ( O ` ( A i^i ( E u. F ) ) ) +e ( O ` ( A \ ( E u. F ) ) ) ) = ( O ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   +ecxad 11944  OutMeascome 40703  CaraGenccaragen 40705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-addass 10001  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-xadd 11947  df-icc 12182  df-ome 40704  df-caragen 40706

This theorem is referenced by:  caragenuncl  40727