Theorem cdlemk8 36126

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 26-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemk.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk.m	|- ./\ = ( meet ` K )

Assertion

Ref	Expression
cdlemk8	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemk8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coass 5654	. . . . . 6 |- ( ( X o. `' G ) o. G ) = ( X o. ( `' G o. G ) )
2		simp1 1061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
3		simp2l 1087	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
4		cdlemk.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` K )
5		cdlemk.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( LHyp ` K )
6		cdlemk.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7	4, 5, 6	ltrn1o 35410	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G : B -1-1-onto-> B )
8	2, 3, 7	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G : B -1-1-onto-> B )
9		f1ococnv1 6165	. . . . . . . . 9 |- ( G : B -1-1-onto-> B -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) )
11	10	coeq2d 5284	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X o. ( `' G o. G ) ) = ( X o. ( _I |` B ) ) )
12		simp2r 1088	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> X e. T )
13	4, 5, 6	ltrn1o 35410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T ) -> X : B -1-1-onto-> B )
14	2, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> X : B -1-1-onto-> B )
15		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( X : B -1-1-onto-> B -> X : B --> B )
16		fcoi1 6078	. . . . . . . 8 |- ( X : B --> B -> ( X o. ( _I |` B ) ) = X )
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X o. ( _I |` B ) ) = X )
18	11, 17	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X o. ( `' G o. G ) ) = X )
19	1, 18	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( X o. `' G ) o. G ) = X )
20	19	fveq1d 6193	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( X o. `' G ) o. G ) ` P ) = ( X ` P ) )
21	5, 6	ltrncnv 35432	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> `' G e. T )
22	2, 3, 21	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> `' G e. T )
23	5, 6	ltrnco 36007	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T /\ `' G e. T ) -> ( X o. `' G ) e. T )
24	2, 12, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X o. `' G ) e. T )
25		simp3l 1089	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A )
26		cdlemk.l	. . . . . 6 |- .<_ = ( le ` K )
27		cdlemk.a	. . . . . 6 |- A = ( Atoms ` K )
28	26, 27, 5, 6	ltrncoval 35431	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X o. `' G ) e. T /\ G e. T ) /\ P e. A ) -> ( ( ( X o. `' G ) o. G ) ` P ) = ( ( X o. `' G ) ` ( G ` P ) ) )
29	2, 24, 3, 25, 28	syl121anc 1331	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( X o. `' G ) o. G ) ` P ) = ( ( X o. `' G ) ` ( G ` P ) ) )
30	20, 29	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X ` P ) = ( ( X o. `' G ) ` ( G ` P ) ) )
31	30	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( ( X o. `' G ) ` ( G ` P ) ) ) )
32	26, 27, 5, 6	ltrnel 35425	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
33	32	3adant2r 1321	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
34		cdlemk.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
35		cdlemk.r	. . . 4 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
36	26, 34, 27, 5, 6, 35	trljat1 35453	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' G ) e. T /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( ( X o. `' G ) ` ( G ` P ) ) ) )
37	2, 24, 33, 36	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( ( X o. `' G ) ` ( G ` P ) ) ) )
38	31, 37	eqtr4d 2659	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   meetcmee 16945   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   trLctrl 35445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446

This theorem is referenced by:  cdlemk9  36127  cdlemk9bN  36128