Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnco Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem ltrnco 36007
Description: The composition of two translations is a translation. Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, line 15 on p. 117. (Contributed by NM, 31-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnco.h |- H = ( LHyp ` K )
ltrnco.t |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion
Ref Expression
ltrnco |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. G ) e. T )
Proof of Theorem ltrnco
Dummy variables q p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1061 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2 ltrnco.h . . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
3 eqid 2622 . . . . 5 |- ( ( LDil ` K ) ` W ) = ( ( LDil ` K ) ` W )
4 ltrnco.t . . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
52, 3, 4ltrnldil 35408 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
653adant3 1081 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
72, 3, 4ltrnldil 35408 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
873adant2 1080 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> G e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
92, 3ldilco 35402 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. ( ( LDil ` K ) ` W ) /\ G e. ( ( LDil ` K ) ` W ) ) -> ( F o. G ) e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
101, 6, 8, 9syl3anc 1326 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. G ) e. ( ( LDil ` K ) ` W ) )
11 simp11 1091 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
12 simp2l 1087 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> p e. ( Atoms ` K ) )
13 simp3l 1089 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> -. p ( le ` K ) W )
1412, 13jca 554 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) )
15 simp2r 1088 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> q e. ( Atoms ` K ) )
16 simp3r 1090 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> -. q ( le ` K ) W )
1715, 16jca 554 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( q e. ( Atoms ` K ) /\ -. q ( le ` K ) W ) )
18 simp12 1092 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> F e. T )
19 simp13 1093 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> G e. T )
20 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
21 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
22 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( meet ` K ) = ( meet ` K )
23 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
2420, 21, 22, 23, 2, 4cdlemg41 36006 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ -. q ( le ` K ) W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) )
2511, 14, 17, 18, 19, 24syl122anc 1335 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) )
26253exp 1264 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) ) )
2726ralrimivv 2970 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> A. p e. ( Atoms ` K ) A. q e. ( Atoms ` K ) ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) )
2820, 21, 22, 23, 2, 3, 4isltrn 35405 . . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( F o. G ) e. T <-> ( ( F o. G ) e. ( ( LDil ` K ) ` W ) /\ A. p e. ( Atoms ` K ) A. q e. ( Atoms ` K ) ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) ) ) )
29283ad2ant1 1082 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( F o. G ) e. T <-> ( ( F o. G ) e. ( ( LDil ` K ) ` W ) /\ A. p e. ( Atoms ` K ) A. q e. ( Atoms ` K ) ( ( -. p ( le ` K ) W /\ -. q ( le ` K ) W ) -> ( ( p ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` p ) ) ( meet ` K ) W ) = ( ( q ( join ` K ) ( ( F o. G ) ` q ) ) ( meet ` K ) W ) ) ) ) )
3010, 27, 29mpbir2and 957 1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. G ) e. T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   lecple 15948   joincjn 16944   meetcmee 16945   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LDilcldil 35386   LTrncltrn 35387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446
This theorem is referenced by:  trlcocnv  36008  trlcoabs2N  36010  trlcoat  36011  trlconid  36013  trlcolem  36014  trlcone  36016  cdlemg44  36021  cdlemg46  36023  cdlemg47  36024  trljco  36028  tgrpgrplem  36037  tendoidcl  36057  tendococl  36060  tendoplcl2  36066  tendoplco2  36067  tendoplcl  36069  tendo0co2  36076  tendoicl  36084  cdlemh1  36103  cdlemh2  36104  cdlemh  36105  cdlemi2  36107  cdlemi  36108  cdlemk2  36120  cdlemk3  36121  cdlemk4  36122  cdlemk8  36126  cdlemk9  36127  cdlemk9bN  36128  cdlemkvcl  36130  cdlemk10  36131  cdlemk11  36137  cdlemk12  36138  cdlemk14  36142  cdlemk11u  36159  cdlemk12u  36160  cdlemk37  36202  cdlemkfid1N  36209  cdlemkid1  36210  cdlemk45  36235  cdlemk47  36237  cdlemk48  36238  cdlemk50  36240  cdlemk52  36242  cdlemk53a  36243  cdlemk54  36246  cdlemk55a  36247  cdlemk55u1  36253  cdlemk55u  36254  tendospcanN  36312  dvalveclem  36314  dialss  36335  dia2dimlem4  36356  dvhvaddcl  36384  diblss  36459  cdlemn3  36486  dihopelvalcpre  36537  dih1  36575  dihglbcpreN  36589  dihjatcclem3  36709  dihjatcclem4  36710
  Copyright terms: Public domain W3C validator