Theorem cncvcOLD 27438

Description: Obsolete version of cncvs 22945 as of 20-Sep-2021. The set of complex numbers is a complex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is x.. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cncvcOLD	|- <. + , x. >. e. CVecOLD

Proof of Theorem cncvcOLD

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnaddabloOLD 27436	. 2 |- + e. AbelOp
2		ax-addf 10015	. . 3 |- + : ( CC X. CC ) --> CC
3	2	fdmi 6052	. 2 |- dom + = ( CC X. CC )
4		ax-mulf 10016	. 2 |- x. : ( CC X. CC ) --> CC
5		mulid2 10038	. 2 |- ( x e. CC -> ( 1 x. x ) = x )
6		adddi 10025	. 2 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC /\ z e. CC ) -> ( y x. ( x + z ) ) = ( ( y x. x ) + ( y x. z ) ) )
7		adddir 10031	. 2 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( y + z ) x. x ) = ( ( y x. x ) + ( z x. x ) ) )
8		mulass 10024	. 2 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( y x. z ) x. x ) = ( y x. ( z x. x ) ) )
9		eqid 2622	. 2 |- <. + , x. >. = <. + , x. >.
10	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isvciOLD 27435	1 |- <. + , x. >. e. CVecOLD

Syntax hints:   e. wcel 1990   <.cop 4183   X. cxp 5112   CCcc 9934   + caddc 9939   x. cmul 9941   CVecOLDcvc 27413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-vc 27414

This theorem is referenced by:  cnnv  27532