Theorem cvrle 34565

Description: The covers relation implies the less-than-or-equal relation. (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrle.b	|- B = ( Base ` K )
cvrle.l	|- .<_ = ( le ` K )
cvrle.c	|- C = ( <o ` K )

Assertion

Ref	Expression
cvrle	|- ( ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> X .<_ Y )

Proof of Theorem cvrle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrle.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( lt ` K ) = ( lt ` K )
3		cvrle.c	. . 3 |- C = ( <o ` K )
4	1, 2, 3	cvrlt 34557	. 2 |- ( ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> X ( lt ` K ) Y )
5		cvrle.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
6	5, 2	pltval 16960	. . 3 |- ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( lt ` K ) Y <-> ( X .<_ Y /\ X =/= Y ) ) )
7	6	simprbda 653	. 2 |- ( ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X ( lt ` K ) Y ) -> X .<_ Y )
8	4, 7	syldan 487	1 |- ( ( ( K e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> X .<_ Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   ltcplt 16941   <o ccvr 34549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-plt 16958  df-covers 34553

This theorem is referenced by:  cvrnbtwn4  34566  cvrcmp  34570  atcvrj2b  34718  atexchcvrN  34726  llncmp  34808  llncvrlpln  34844  lplncmp  34848  lplncvrlvol  34902  lvolcmp  34903