Theorem lplncmp 34848

Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplncmp.l	|- .<_ = ( le ` K )
lplncmp.p	|- P = ( LPlanes ` K )

Assertion

Ref	Expression
lplncmp	|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )

Proof of Theorem lplncmp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. P )
2		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. HL )
3		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
4		lplncmp.p	. . . . . . 7 |- P = ( LPlanes ` K )
5	3, 4	lplnbase 34820	. . . . . 6 |- ( X e. P -> X e. ( Base ` K ) )
6	5	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. ( Base ` K ) )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( LLines ` K ) = ( LLines ` K )
9	3, 7, 8, 4	islpln4 34817	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( X e. P <-> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X ) )
10	2, 6, 9	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X e. P <-> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X ) )
11	1, 10	mpbid 222	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X )
12		simpr3 1069	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X .<_ Y )
13		hlpos 34652	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
14	13	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. Poset )
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. Poset )
16	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X e. ( Base ` K ) )
17		simpl3 1066	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> Y e. P )
18	3, 4	lplnbase 34820	. . . . . . . 8 |- ( Y e. P -> Y e. ( Base ` K ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> Y e. ( Base ` K ) )
20		simpr1 1067	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z e. ( LLines ` K ) )
21	3, 8	llnbase 34795	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( LLines ` K ) -> z e. ( Base ` K ) )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z e. ( Base ` K ) )
23		simpr2 1068	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z ( <o ` K ) X )
24		simpl1 1064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. HL )
25		lplncmp.l	. . . . . . . . . . 11 |- .<_ = ( le ` K )
26	3, 25, 7	cvrle 34565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ z e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) ) /\ z ( <o ` K ) X ) -> z .<_ X )
27	24, 22, 16, 23, 26	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z .<_ X )
28	3, 25	postr 16953	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Poset /\ ( z e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( z .<_ X /\ X .<_ Y ) -> z .<_ Y ) )
29	15, 22, 16, 19, 28	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( z .<_ X /\ X .<_ Y ) -> z .<_ Y ) )
30	27, 12, 29	mp2and 715	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z .<_ Y )
31	25, 7, 8, 4	llncvrlpln2 34843	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ z e. ( LLines ` K ) /\ Y e. P ) /\ z .<_ Y ) -> z ( <o ` K ) Y )
32	24, 20, 17, 30, 31	syl31anc 1329	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z ( <o ` K ) Y )
33	3, 25, 7	cvrcmp 34570	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ ( X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ ( z ( <o ` K ) X /\ z ( <o ` K ) Y ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
34	15, 16, 19, 22, 23, 32, 33	syl132anc 1344	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
35	12, 34	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X = Y )
36	35	3exp2 1285	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( z e. ( LLines ` K ) -> ( z ( <o ` K ) X -> ( X .<_ Y -> X = Y ) ) ) )
37	36	rexlimdv 3030	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X -> ( X .<_ Y -> X = Y ) ) )
38	11, 37	mpd 15	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y -> X = Y ) )
39	3, 25	posref 16951	. . . 4 |- ( ( K e. Poset /\ X e. ( Base ` K ) ) -> X .<_ X )
40	14, 6, 39	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X .<_ X )
41		breq2 4657	. . 3 |- ( X = Y -> ( X .<_ X <-> X .<_ Y ) )
42	40, 41	syl5ibcom 235	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X = Y -> X .<_ Y ) )
43	38, 42	impbid 202	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   <o ccvr 34549   HLchlt 34637   LLinesclln 34777   LPlanesclpl 34778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785

This theorem is referenced by:  lplnexllnN  34850  lplnnlt  34851  2llnjaN  34852  dalem-cly  34957  dalem44  35002