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Theorem axcontlem10 25853
Description: Lemma for axcont 25856. Given a handful of assumptions, derive the conclusion of the final theorem. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem10.1 |- D = { p e. ( EE ` N ) | ( U Btwn <. Z , p >. \/ p Btwn <. Z , U >. ) }
axcontlem10.2 |- F = { <. x , t >. | ( x e. D /\ ( t e. ( 0 [,) +oo ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( x ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( Z ` i ) ) + ( t x. ( U ` i ) ) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
axcontlem10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )
Distinct variable groups:   A, b, p, x   B, b, p, x, y   D, p, t, x   F, b   i, F, p, t, x   y, F   N, b   i, N, p, t, x   y, N   U, b   U, i, p, t, x   y, U   Z, b   i, Z, p, t, x   y, Z
Allowed substitution hints:   A( y, t, i)   B( t, i)   D( y, i, b)
Proof of Theorem axcontlem10
Dummy variables k m n q r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5477 . . . . 5 |- ( F " A ) C_ ran F
2 simpll 790 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> N e. NN )
3 simprl1 1106 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> Z e. ( EE ` N ) )
4 simplr1 1103 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> A C_ ( EE ` N ) )
5 simprl2 1107 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> U e. A )
64, 5sseldd 3604 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> U e. ( EE ` N ) )
7 simprr 796 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> Z =/= U )
8 axcontlem10.1 . . . . . . . 8 |- D = { p e. ( EE ` N ) | ( U Btwn <. Z , p >. \/ p Btwn <. Z , U >. ) }
9 axcontlem10.2 . . . . . . . 8 |- F = { <. x , t >. | ( x e. D /\ ( t e. ( 0 [,) +oo ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( x ` i ) = ( ( ( 1 - t ) x. ( Z ` i ) ) + ( t x. ( U ` i ) ) ) ) ) }
108, 9axcontlem2 25845 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) /\ Z =/= U ) -> F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) )
112, 3, 6, 7, 10syl31anc 1329 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) )
12 f1ofo 6144 . . . . . 6 |- ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) -> F : D -onto-> ( 0 [,) +oo ) )
13 forn 6118 . . . . . 6 |- ( F : D -onto-> ( 0 [,) +oo ) -> ran F = ( 0 [,) +oo ) )
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ran F = ( 0 [,) +oo ) )
151, 14syl5sseq 3653 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( F " A ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
16 rge0ssre 12280 . . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
1715, 16syl6ss 3615 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( F " A ) C_ RR )
18 imassrn 5477 . . . . 5 |- ( F " B ) C_ ran F
1918, 14syl5sseq 3653 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( F " B ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
2019, 16syl6ss 3615 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( F " B ) C_ RR )
218, 9axcontlem9 25852 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) m <_ n )
22 dedekindle 10201 . . 3 |- ( ( ( F " A ) C_ RR /\ ( F " B ) C_ RR /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) m <_ n ) -> E. k e. RR A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) )
2317, 20, 21, 22syl3anc 1326 . 2 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> E. k e. RR A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) )
24 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ k e. RR ) -> k e. RR )
25 simprl3 1108 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> B =/= (/) )
2625ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ k e. RR ) -> B =/= (/) )
27 n0 3931 . . . . . . . . . 10 |- ( B =/= (/) <-> E. b b e. B )
2826, 27sylib 208 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ k e. RR ) -> E. b b e. B )
29 0red 10041 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> 0 e. RR )
30 f1of 6137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) -> F : D --> ( 0 [,) +oo ) )
3111, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> F : D --> ( 0 [,) +oo ) )
328axcontlem4 25847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> A C_ D )
3332, 5sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> U e. D )
3431, 33ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( F ` U ) e. ( 0 [,) +oo ) )
3516, 34sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( F ` U ) e. RR )
3635ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> ( F ` U ) e. RR )
37 simprl 794 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> k e. RR )
38 elrege0 12278 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` U ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( F ` U ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` U ) ) )
3938simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` U ) e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ ( F ` U ) )
4034, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> 0 <_ ( F ` U ) )
4140ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> 0 <_ ( F ` U ) )
42 f1of1 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) -> F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo ) )
4311, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo ) )
44 f1elima 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo ) /\ U e. D /\ A C_ D ) -> ( ( F ` U ) e. ( F " A ) <-> U e. A ) )
4543, 33, 32, 44syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( ( F ` U ) e. ( F " A ) <-> U e. A ) )
465, 45mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( F ` U ) e. ( F " A ) )
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> ( F ` U ) e. ( F " A ) )
48 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ b e. B ) -> b e. B )
4943adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ b e. B ) -> F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo ) )
50 simpl1 1064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) -> Z e. ( EE ` N ) )
51 simpl2 1065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) -> U e. A )
52 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) -> Z =/= U )
5350, 51, 523jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) -> ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ Z =/= U ) )
548axcontlem3 25846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ Z =/= U ) ) -> B C_ D )
5553, 54sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> B C_ D )
5655sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ b e. B ) -> b e. D )
5755adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ b e. B ) -> B C_ D )
58 f1elima 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : D -1-1-> ( 0 [,) +oo ) /\ b e. D /\ B C_ D ) -> ( ( F ` b ) e. ( F " B ) <-> b e. B ) )
5949, 56, 57, 58syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ b e. B ) -> ( ( F ` b ) e. ( F " B ) <-> b e. B ) )
6048, 59mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ b e. B ) -> ( F ` b ) e. ( F " B ) )
6160adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> ( F ` b ) e. ( F " B ) )
6247, 61jca 554 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> ( ( F ` U ) e. ( F " A ) /\ ( F ` b ) e. ( F " B ) ) )
63 breq1 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = ( F ` U ) -> ( m <_ k <-> ( F ` U ) <_ k ) )
6463anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = ( F ` U ) -> ( ( m <_ k /\ k <_ n ) <-> ( ( F ` U ) <_ k /\ k <_ n ) ) )
65 breq2 4657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( F ` b ) -> ( k <_ n <-> k <_ ( F ` b ) ) )
6665anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( F ` b ) -> ( ( ( F ` U ) <_ k /\ k <_ n ) <-> ( ( F ` U ) <_ k /\ k <_ ( F ` b ) ) ) )
6764, 66rspc2va 3323 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F ` U ) e. ( F " A ) /\ ( F ` b ) e. ( F " B ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) -> ( ( F ` U ) <_ k /\ k <_ ( F ` b ) ) )
6862, 67sylan 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) -> ( ( F ` U ) <_ k /\ k <_ ( F ` b ) ) )
6968an32s 846 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> ( ( F ` U ) <_ k /\ k <_ ( F ` b ) ) )
7069simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> ( F ` U ) <_ k )
7129, 36, 37, 41, 70letrd 10194 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ ( k e. RR /\ b e. B ) ) -> 0 <_ k )
7271expr 643 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ k e. RR ) -> ( b e. B -> 0 <_ k ) )
7372exlimdv 1861 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ k e. RR ) -> ( E. b b e. B -> 0 <_ k ) )
7428, 73mpd 15 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ k e. RR ) -> 0 <_ k )
75 elrege0 12278 . . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( k e. RR /\ 0 <_ k ) )
7624, 74, 75sylanbrc 698 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) /\ k e. RR ) -> k e. ( 0 [,) +oo ) )
7776ex 450 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) -> ( k e. RR -> k e. ( 0 [,) +oo ) ) )
78 ssrab2 3687 . . . . . . . . . 10 |- { p e. ( EE ` N ) | ( U Btwn <. Z , p >. \/ p Btwn <. Z , U >. ) } C_ ( EE ` N )
798, 78eqsstri 3635 . . . . . . . . 9 |- D C_ ( EE ` N )
80 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) -> k e. ( 0 [,) +oo ) )
81 f1ocnvdm 6540 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( `' F ` k ) e. D )
8211, 80, 81syl2an 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( `' F ` k ) e. D )
8379, 82sseldi 3601 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( `' F ` k ) e. ( EE ` N ) )
842, 3, 63jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) )
8584, 7jca 554 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) /\ Z =/= U ) )
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) /\ Z =/= U ) )
8732sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ q e. A ) -> q e. D )
8887adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) -> q e. D )
8988adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> q e. D )
90 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) -> k e. ( 0 [,) +oo ) )
9111, 90, 81syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( `' F ` k ) e. D )
9255sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ r e. B ) -> r e. D )
9392adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) -> r e. D )
9493adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> r e. D )
9589, 91, 943jca 1242 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( q e. D /\ ( `' F ` k ) e. D /\ r e. D ) )
9686, 95jca 554 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) /\ Z =/= U ) /\ ( q e. D /\ ( `' F ` k ) e. D /\ r e. D ) ) )
97 f1ofun 6139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) -> Fun F )
9811, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> Fun F )
99 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F : D --> ( 0 [,) +oo ) -> dom F = D )
10011, 30, 993syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> dom F = D )
10132, 100sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> A C_ dom F )
102 funfvima2 6493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Fun F /\ A C_ dom F ) -> ( q e. A -> ( F ` q ) e. ( F " A ) ) )
10398, 101, 102syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( q e. A -> ( F ` q ) e. ( F " A ) ) )
10455, 100sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> B C_ dom F )
105 funfvima2 6493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Fun F /\ B C_ dom F ) -> ( r e. B -> ( F ` r ) e. ( F " B ) ) )
10698, 104, 105syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( r e. B -> ( F ` r ) e. ( F " B ) ) )
107103, 106anim12d 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( ( q e. A /\ r e. B ) -> ( ( F ` q ) e. ( F " A ) /\ ( F ` r ) e. ( F " B ) ) ) )
108107imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) -> ( ( F ` q ) e. ( F " A ) /\ ( F ` r ) e. ( F " B ) ) )
109108adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( F ` q ) e. ( F " A ) /\ ( F ` r ) e. ( F " B ) ) )
110 simprll 802 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) )
111 breq1 4656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = ( F ` q ) -> ( m <_ k <-> ( F ` q ) <_ k ) )
112111anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( F ` q ) -> ( ( m <_ k /\ k <_ n ) <-> ( ( F ` q ) <_ k /\ k <_ n ) ) )
113 breq2 4657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( F ` r ) -> ( k <_ n <-> k <_ ( F ` r ) ) )
114113anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( F ` r ) -> ( ( ( F ` q ) <_ k /\ k <_ n ) <-> ( ( F ` q ) <_ k /\ k <_ ( F ` r ) ) ) )
115112, 114rspc2v 3322 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` q ) e. ( F " A ) /\ ( F ` r ) e. ( F " B ) ) -> ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) -> ( ( F ` q ) <_ k /\ k <_ ( F ` r ) ) ) )
116109, 110, 115sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( F ` q ) <_ k /\ k <_ ( F ` r ) ) )
117 f1ocnvfv2 6533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : D -1-1-onto-> ( 0 [,) +oo ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( F ` ( `' F ` k ) ) = k )
11811, 90, 117syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` k ) ) = k )
119118breq2d 4665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( F ` q ) <_ ( F ` ( `' F ` k ) ) <-> ( F ` q ) <_ k ) )
120118breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` k ) ) <_ ( F ` r ) <-> k <_ ( F ` r ) ) )
121119, 120anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( ( F ` q ) <_ ( F ` ( `' F ` k ) ) /\ ( F ` ( `' F ` k ) ) <_ ( F ` r ) ) <-> ( ( F ` q ) <_ k /\ k <_ ( F ` r ) ) ) )
122116, 121mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( ( F ` q ) <_ ( F ` ( `' F ` k ) ) /\ ( F ` ( `' F ` k ) ) <_ ( F ` r ) ) )
1238, 9axcontlem8 25851 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN /\ Z e. ( EE ` N ) /\ U e. ( EE ` N ) ) /\ Z =/= U ) /\ ( q e. D /\ ( `' F ` k ) e. D /\ r e. D ) ) -> ( ( ( F ` q ) <_ ( F ` ( `' F ` k ) ) /\ ( F ` ( `' F ` k ) ) <_ ( F ` r ) ) -> ( `' F ` k ) Btwn <. q , r >. ) )
12496, 122, 123sylc 65 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) ) -> ( `' F ` k ) Btwn <. q , r >. )
125124anassrs 680 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) ) /\ ( q e. A /\ r e. B ) ) -> ( `' F ` k ) Btwn <. q , r >. )
126125ralrimivva 2971 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> A. q e. A A. r e. B ( `' F ` k ) Btwn <. q , r >. )
127 opeq1 4402 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = x -> <. q , r >. = <. x , r >. )
128127breq2d 4665 . . . . . . . . . 10 |- ( q = x -> ( ( `' F ` k ) Btwn <. q , r >. <-> ( `' F ` k ) Btwn <. x , r >. ) )
129 opeq2 4403 . . . . . . . . . . 11 |- ( r = y -> <. x , r >. = <. x , y >. )
130129breq2d 4665 . . . . . . . . . 10 |- ( r = y -> ( ( `' F ` k ) Btwn <. x , r >. <-> ( `' F ` k ) Btwn <. x , y >. ) )
131128, 130cbvral2v 3179 . . . . . . . . 9 |- ( A. q e. A A. r e. B ( `' F ` k ) Btwn <. q , r >. <-> A. x e. A A. y e. B ( `' F ` k ) Btwn <. x , y >. )
132126, 131sylib 208 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> A. x e. A A. y e. B ( `' F ` k ) Btwn <. x , y >. )
133 breq1 4656 . . . . . . . . . 10 |- ( b = ( `' F ` k ) -> ( b Btwn <. x , y >. <-> ( `' F ` k ) Btwn <. x , y >. ) )
1341332ralbidv 2989 . . . . . . . . 9 |- ( b = ( `' F ` k ) -> ( A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. <-> A. x e. A A. y e. B ( `' F ` k ) Btwn <. x , y >. ) )
135134rspcev 3309 . . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F ` k ) e. ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B ( `' F ` k ) Btwn <. x , y >. ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )
13683, 132, 135syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) /\ k e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )
137136expr 643 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) -> ( k e. ( 0 [,) +oo ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
13877, 137syld 47 . . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) /\ A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) ) -> ( k e. RR -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
139138ex 450 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) -> ( k e. RR -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) ) )
140139com23 86 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( k e. RR -> ( A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) ) )
141140rexlimdv 3030 . 2 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> ( E. k e. RR A. m e. ( F " A ) A. n e. ( F " B ) ( m <_ k /\ k <_ n ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. ) )
14223, 141mpd 15 1 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A C_ ( EE ` N ) /\ B C_ ( EE ` N ) /\ A. x e. A A. y e. B x Btwn <. Z , y >. ) ) /\ ( ( Z e. ( EE ` N ) /\ U e. A /\ B =/= (/) ) /\ Z =/= U ) ) -> E. b e. ( EE ` N ) A. x e. A A. y e. B b Btwn <. x , y >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   [,)cico 12177   ...cfz 12326   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-z 11378  df-uz 11688  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-ee 25771  df-btwn 25772
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