Theorem dford4 37596

Description: dford3 37595 expressed in primitives to demonstrate shortness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dford4	|- ( Ord N <-> A. a A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( b e. N /\ ( c e. b -> c e. a ) ) ) )

Distinct variable group:   a, b, c, N

Proof of Theorem dford4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dford3 37595	. 2 |- ( Ord N <-> ( Tr N /\ A. a e. N Tr a ) )
2		dftr2 4754	. . . . 5 |- ( Tr N <-> A. b A. a ( ( b e. a /\ a e. N ) -> b e. N ) )
3		19.3v 1897	. . . . . . . 8 |- ( A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) <-> ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) )
4		ancom 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. N /\ b e. a ) <-> ( b e. a /\ a e. N ) )
5	4	imbi1i 339	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) <-> ( ( b e. a /\ a e. N ) -> b e. N ) )
6	3, 5	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) <-> ( ( b e. a /\ a e. N ) -> b e. N ) )
7	6	2albii 1748	. . . . . 6 |- ( A. a A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) <-> A. a A. b ( ( b e. a /\ a e. N ) -> b e. N ) )
8		alcom 2037	. . . . . 6 |- ( A. a A. b ( ( b e. a /\ a e. N ) -> b e. N ) <-> A. b A. a ( ( b e. a /\ a e. N ) -> b e. N ) )
9	7, 8	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. a A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) <-> A. b A. a ( ( b e. a /\ a e. N ) -> b e. N ) )
10	2, 9	bitr4i 267	. . . 4 |- ( Tr N <-> A. a A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) )
11		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. a e. N Tr a <-> A. a ( a e. N -> Tr a ) )
12		dftr2 4754	. . . . . . . . 9 |- ( Tr a <-> A. c A. b ( ( c e. b /\ b e. a ) -> c e. a ) )
13	12	imbi2i 326	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. N -> Tr a ) <-> ( a e. N -> A. c A. b ( ( c e. b /\ b e. a ) -> c e. a ) ) )
14		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ c a e. N
15		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ b a e. N
16	14, 15	19.21-2 2078	. . . . . . . 8 |- ( A. c A. b ( a e. N -> ( ( c e. b /\ b e. a ) -> c e. a ) ) <-> ( a e. N -> A. c A. b ( ( c e. b /\ b e. a ) -> c e. a ) ) )
17	13, 16	bitr4i 267	. . . . . . 7 |- ( ( a e. N -> Tr a ) <-> A. c A. b ( a e. N -> ( ( c e. b /\ b e. a ) -> c e. a ) ) )
18		impexp 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. N /\ ( c e. b /\ b e. a ) ) -> c e. a ) <-> ( a e. N -> ( ( c e. b /\ b e. a ) -> c e. a ) ) )
19		ancom 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. b /\ b e. a ) <-> ( b e. a /\ c e. b ) )
20	19	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. N /\ ( c e. b /\ b e. a ) ) <-> ( a e. N /\ ( b e. a /\ c e. b ) ) )
21		anass 681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. N /\ b e. a ) /\ c e. b ) <-> ( a e. N /\ ( b e. a /\ c e. b ) ) )
22	20, 21	bitr4i 267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. N /\ ( c e. b /\ b e. a ) ) <-> ( ( a e. N /\ b e. a ) /\ c e. b ) )
23	22	imbi1i 339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. N /\ ( c e. b /\ b e. a ) ) -> c e. a ) <-> ( ( ( a e. N /\ b e. a ) /\ c e. b ) -> c e. a ) )
24	18, 23	bitr3i 266	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. N -> ( ( c e. b /\ b e. a ) -> c e. a ) ) <-> ( ( ( a e. N /\ b e. a ) /\ c e. b ) -> c e. a ) )
25		impexp 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. N /\ b e. a ) /\ c e. b ) -> c e. a ) <-> ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) )
26	24, 25	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. N -> ( ( c e. b /\ b e. a ) -> c e. a ) ) <-> ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) )
27	26	2albii 1748	. . . . . . 7 |- ( A. c A. b ( a e. N -> ( ( c e. b /\ b e. a ) -> c e. a ) ) <-> A. c A. b ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) )
28		alcom 2037	. . . . . . 7 |- ( A. c A. b ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) <-> A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) )
29	17, 27, 28	3bitri 286	. . . . . 6 |- ( ( a e. N -> Tr a ) <-> A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) )
30	29	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. a ( a e. N -> Tr a ) <-> A. a A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) )
31	11, 30	bitri 264	. . . 4 |- ( A. a e. N Tr a <-> A. a A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) )
32	10, 31	anbi12i 733	. . 3 |- ( ( Tr N /\ A. a e. N Tr a ) <-> ( A. a A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) /\ A. a A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) ) )
33		19.26 1798	. . 3 |- ( A. a ( A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) /\ A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) ) <-> ( A. a A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) /\ A. a A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) ) )
34	32, 33	bitr4i 267	. 2 |- ( ( Tr N /\ A. a e. N Tr a ) <-> A. a ( A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) /\ A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) ) )
35		19.26-2 1799	. . . 4 |- ( A. b A. c ( ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) /\ ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) ) <-> ( A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) /\ A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) ) )
36		pm4.76 910	. . . . 5 |- ( ( ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) /\ ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) ) <-> ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( b e. N /\ ( c e. b -> c e. a ) ) ) )
37	36	2albii 1748	. . . 4 |- ( A. b A. c ( ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) /\ ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) ) <-> A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( b e. N /\ ( c e. b -> c e. a ) ) ) )
38	35, 37	bitr3i 266	. . 3 |- ( ( A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) /\ A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) ) <-> A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( b e. N /\ ( c e. b -> c e. a ) ) ) )
39	38	albii 1747	. 2 |- ( A. a ( A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> b e. N ) /\ A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( c e. b -> c e. a ) ) ) <-> A. a A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( b e. N /\ ( c e. b -> c e. a ) ) ) )
40	1, 34, 39	3bitri 286	1 |- ( Ord N <-> A. a A. b A. c ( ( a e. N /\ b e. a ) -> ( b e. N /\ ( c e. b -> c e. a ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   e. wcel 1990   A.wral 2912   Tr wtr 4752   Ord word 5722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729

This theorem is referenced by: (None)