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Theorem difreicc 12304

Description: The class difference of

and a closed interval. (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

**Assertion**
Ref	Expression
difreicc	$/\$ $\$

Proof of Theorem difreicc Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3584	. . 3 $\$ $/\$
2		rexr 10085	. . . . . . . . . 10
3		rexr 10085	. . . . . . . . . 10
4		elicc1 12219	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
5	2, 3, 4	syl2an 494	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7	6	notbid 308	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8		3anass 1042	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	8	notbii 310	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		ianor 509	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
11		rexr 10085	. . . . . . . . . . . 12
12	11	pm2.24d 147	. . . . . . . . . . 11 $\/$
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$
14		ianor 509	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
15	11	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
16		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . 15
17	16	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
18		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
19		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
20		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
21	20	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
22	18, 19, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
23	22	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
24		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
26		elioo1 12215	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
27	24, 25, 26	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	15, 17, 23, 27	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
30		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
31	30	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
32	11	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
33		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
34		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35	34	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
36	3	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
37		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38		elioo1 12215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
39	36, 37, 38	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	32, 33, 35, 39	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
41	40	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
42	31, 41	sylbird 250	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
43	29, 42	orim12d 883	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
44	14, 43	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
45	13, 44	jaod 395	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
46	10, 45	syl5bi 232	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
47	9, 46	syl5bi 232	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
48	7, 47	sylbid 230	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$
49	48	expimpd 629	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$
50		elun 3753	. . . . 5 $\/$
51	49, 50	syl6ibr 242	. . . 4 $/\$ $/\$
52		ioossre 12235	. . . . . . . . 9
53		ioossre 12235	. . . . . . . . 9
54	52, 53	unssi 3788	. . . . . . . 8
55	54	sseli 3599	. . . . . . 7
56	55	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$
57		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
58	24, 2, 57	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
60	20	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
61	60	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	62	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
65	64	3impd 1281	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
66	59, 65	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
67	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
68	67, 37, 38	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
69		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
70	69	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
71	70	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
72	71	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74	73	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
75	3, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
77	76	3impd 1281	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	68, 77	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79	66, 78	orim12d 883	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $\/$
80	50, 79	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$
81	80	imp 445	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$
82	81, 14	sylibr 224	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
83	82	intnand 962	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	83, 8	sylnibr 319	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	2, 3	anim12i 590	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86	85	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
87	4	notbid 308	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
88	86, 87	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	84, 88	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$ $/\$
90	56, 89	jca 554	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
91	90	ex 450	. . . 4 $/\$ $/\$
92	51, 91	impbid 202	. . 3 $/\$ $/\$
93	1, 92	syl5bb 272	. 2 $/\$ $\$
94	93	eqrdv 2620	1 $/\$ $\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990 $\$ cdif 3571

cun 3572 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cr 9935

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cioo 12175

cicc 12178

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-po 5035 df-so 5036 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-ioo 12179 df-icc 12182

This theorem is referenced by: icccld 22570 iccmbl 23334 mbfimaicc 23400 icccncfext 40100

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