Theorem dmadjrnb 28765

Description: The adjoint of an operator belongs to the adjoint function's domain. (Note: the converse is dependent on our definition of function value, since it uses ndmfv 6218.) (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmadjrnb	|- ( T e. dom adjh <-> ( adjh ` T ) e. dom adjh )

Proof of Theorem dmadjrnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmadjrn 28754	. 2 |- ( T e. dom adjh -> ( adjh ` T ) e. dom adjh )
2		ax-hv0cl 27860	. . . . . . . . 9 |- 0h e. ~H
3	2	n0ii 3922	. . . . . . . 8 |- -. ~H = (/)
4		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( (/) = ~H <-> ~H = (/) )
5	3, 4	mtbir 313	. . . . . . 7 |- -. (/) = ~H
6		dm0 5339	. . . . . . . 8 |- dom (/) = (/)
7	6	eqeq1i 2627	. . . . . . 7 |- ( dom (/) = ~H <-> (/) = ~H )
8	5, 7	mtbir 313	. . . . . 6 |- -. dom (/) = ~H
9		fdm 6051	. . . . . 6 |- ( (/) : ~H --> ~H -> dom (/) = ~H )
10	8, 9	mto 188	. . . . 5 |- -. (/) : ~H --> ~H
11		dmadjop 28747	. . . . 5 |- ( (/) e. dom adjh -> (/) : ~H --> ~H )
12	10, 11	mto 188	. . . 4 |- -. (/) e. dom adjh
13		ndmfv 6218	. . . . 5 |- ( -. T e. dom adjh -> ( adjh ` T ) = (/) )
14	13	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( -. T e. dom adjh -> ( ( adjh ` T ) e. dom adjh <-> (/) e. dom adjh ) )
15	12, 14	mtbiri 317	. . 3 |- ( -. T e. dom adjh -> -. ( adjh ` T ) e. dom adjh )
16	15	con4i 113	. 2 |- ( ( adjh ` T ) e. dom adjh -> T e. dom adjh )
17	1, 16	impbii 199	1 |- ( T e. dom adjh <-> ( adjh ` T ) e. dom adjh )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   (/)c0 3915   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888   ~Hchil 27776   0hc0v 27781   adjhcado 27812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-hvsub 27828  df-adjh 28708

This theorem is referenced by:  adjbdlnb  28943  adjeq0  28950