Theorem domunfican 8233

Description: A finite set union cancellation law for dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domunfican	|- ( ( ( A e. Fin /\ B ~~ A ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) )

Proof of Theorem domunfican

Dummy variables a b c f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8005	. . . 4 |- ( B ~~ A -> A ~~ B )
2		bren 7964	. . . 4 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )
3	1, 2	sylib 208	. . 3 |- ( B ~~ A -> E. f f : A -1-1-onto-> B )
4		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- A C_ A
5		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = (/) -> ( a C_ A <-> (/) C_ A ) )
6	5	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) <-> ( (/) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) )
7	6	anbi1d 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = (/) -> ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) <-> ( ( (/) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) )
8		uneq1 3760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = (/) -> ( a u. X ) = ( (/) u. X ) )
9		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = (/) -> ( f " a ) = ( f " (/) ) )
10	9	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = (/) -> ( ( f " a ) u. Y ) = ( ( f " (/) ) u. Y ) )
11	8, 10	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = (/) -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> ( (/) u. X ) ~<_ ( ( f " (/) ) u. Y ) ) )
12	11	bibi1d 333	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = (/) -> ( ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) <-> ( ( (/) u. X ) ~<_ ( ( f " (/) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) )
13	7, 12	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> ( ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) <-> ( ( ( (/) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( (/) u. X ) ~<_ ( ( f " (/) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) )
14		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> ( a C_ A <-> b C_ A ) )
15	14	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) <-> ( b C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) )
16	15	anbi1d 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = b -> ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) <-> ( ( b C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) )
17		uneq1 3760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> ( a u. X ) = ( b u. X ) )
18		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = b -> ( f " a ) = ( f " b ) )
19	18	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> ( ( f " a ) u. Y ) = ( ( f " b ) u. Y ) )
20	17, 19	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) ) )
21	20	bibi1d 333	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = b -> ( ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) <-> ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) )
22	16, 21	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) <-> ( ( ( b C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) )
23		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ A <-> ( b u. { c } ) C_ A ) )
24	23	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) <-> ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) )
25	24	anbi1d 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) <-> ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) )
26		uneq1 3760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a u. X ) = ( ( b u. { c } ) u. X ) )
27		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( f " a ) = ( f " ( b u. { c } ) ) )
28	27	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( f " a ) u. Y ) = ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) )
29	26, 28	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) ) )
30	29	bibi1d 333	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) <-> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) )
31	25, 30	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) <-> ( ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) )
32		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( a C_ A <-> A C_ A ) )
33	32	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) <-> ( A C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) )
34	33	anbi1d 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) <-> ( ( A C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) )
35		uneq1 3760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( a u. X ) = ( A u. X ) )
36		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = A -> ( f " a ) = ( f " A ) )
37	36	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = A -> ( ( f " a ) u. Y ) = ( ( f " A ) u. Y ) )
38	35, 37	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = A -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) ) )
39	38	bibi1d 333	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = A -> ( ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) <-> ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) )
40	34, 39	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> ( ( ( ( a C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( a u. X ) ~<_ ( ( f " a ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) <-> ( ( ( A C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) )
41		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) u. X ) = ( X u. (/) )
42		un0 3967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X u. (/) ) = X
43	41, 42	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) u. X ) = X
44		ima0 5481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f " (/) ) = (/)
45	44	uneq1i 3763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f " (/) ) u. Y ) = ( (/) u. Y )
46		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) u. Y ) = ( Y u. (/) )
47		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y u. (/) ) = Y
48	46, 47	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) u. Y ) = Y
49	45, 48	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f " (/) ) u. Y ) = Y
50	43, 49	breq12i 4662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) u. X ) ~<_ ( ( f " (/) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y )
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (/) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( (/) u. X ) ~<_ ( ( f " (/) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) )
52		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- b C_ ( b u. { c } )
53		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b C_ ( b u. { c } ) -> ( ( b u. { c } ) C_ A -> b C_ A ) )
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b u. { c } ) C_ A -> b C_ A )
55	54	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> ( b C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) )
56	55	anim1i 592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( b C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) )
57	56	imim1i 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) -> ( ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) )
58		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b u. { c } ) = ( { c } u. b )
59	58	uneq1i 3763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b u. { c } ) u. X ) = ( ( { c } u. b ) u. X )
60		unass 3770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { c } u. b ) u. X ) = ( { c } u. ( b u. X ) )
61	59, 60	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b u. { c } ) u. X ) = ( { c } u. ( b u. X ) )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( b u. { c } ) u. X ) = ( { c } u. ( b u. X ) ) )
63		imaundi 5545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f " ( b u. { c } ) ) = ( ( f " b ) u. ( f " { c } ) )
64		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> f : A -1-1-onto-> B )
65		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f Fn A )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> f Fn A )
67		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- { c } C_ ( b u. { c } )
68		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( { c } C_ ( b u. { c } ) -> ( ( b u. { c } ) C_ A -> { c } C_ A ) )
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( b u. { c } ) C_ A -> { c } C_ A )
70		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- c e. _V
71	70	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( c e. A <-> { c } C_ A )
72	69, 71	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( b u. { c } ) C_ A -> c e. A )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> c e. A )
74	73	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> c e. A )
75		fnsnfv 6258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f Fn A /\ c e. A ) -> { ( f ` c ) } = ( f " { c } ) )
76	66, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> { ( f ` c ) } = ( f " { c } ) )
77	76	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( f " { c } ) = { ( f ` c ) } )
78	77	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( f " b ) u. ( f " { c } ) ) = ( ( f " b ) u. { ( f ` c ) } ) )
79	63, 78	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( f " ( b u. { c } ) ) = ( ( f " b ) u. { ( f ` c ) } ) )
80	79	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) = ( ( ( f " b ) u. { ( f ` c ) } ) u. Y ) )
81		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f " b ) u. { ( f ` c ) } ) = ( { ( f ` c ) } u. ( f " b ) )
82	81	uneq1i 3763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f " b ) u. { ( f ` c ) } ) u. Y ) = ( ( { ( f ` c ) } u. ( f " b ) ) u. Y )
83		unass 3770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { ( f ` c ) } u. ( f " b ) ) u. Y ) = ( { ( f ` c ) } u. ( ( f " b ) u. Y ) )
84	82, 83	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f " b ) u. { ( f ` c ) } ) u. Y ) = ( { ( f ` c ) } u. ( ( f " b ) u. Y ) )
85	80, 84	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) = ( { ( f ` c ) } u. ( ( f " b ) u. Y ) ) )
86	62, 85	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> ( { c } u. ( b u. X ) ) ~<_ ( { ( f ` c ) } u. ( ( f " b ) u. Y ) ) ) )
87		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> -. c e. b )
88		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X i^i A ) = ( A i^i X )
89		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( A i^i X ) = (/) )
90	88, 89	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( X i^i A ) = (/) )
91		minel 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c e. A /\ ( X i^i A ) = (/) ) -> -. c e. X )
92	74, 90, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> -. c e. X )
93		ioran 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. ( c e. b \/ c e. X ) <-> ( -. c e. b /\ -. c e. X ) )
94		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c e. ( b u. X ) <-> ( c e. b \/ c e. X ) )
95	93, 94	xchnxbir 323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. c e. ( b u. X ) <-> ( -. c e. b /\ -. c e. X ) )
96	87, 92, 95	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> -. c e. ( b u. X ) )
97		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) -> -. c e. b )
98		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -1-1-> B )
99	98	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> f : A -1-1-> B )
100	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> b C_ A )
101		f1elima 6520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f : A -1-1-> B /\ c e. A /\ b C_ A ) -> ( ( f ` c ) e. ( f " b ) <-> c e. b ) )
102	99, 73, 100, 101	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( f ` c ) e. ( f " b ) <-> c e. b ) )
103	102	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( f ` c ) e. ( f " b ) -> c e. b ) )
104	103	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( f ` c ) e. ( f " b ) -> c e. b ) )
105	97, 104	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) ) -> -. ( f ` c ) e. ( f " b ) )
106	105	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> -. ( f ` c ) e. ( f " b ) )
107		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A --> B )
108	64, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> f : A --> B )
109	108, 74	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( f ` c ) e. B )
110		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Y i^i B ) = ( B i^i Y )
111		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( B i^i Y ) = (/) )
112	110, 111	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( Y i^i B ) = (/) )
113		minel 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f ` c ) e. B /\ ( Y i^i B ) = (/) ) -> -. ( f ` c ) e. Y )
114	109, 112, 113	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> -. ( f ` c ) e. Y )
115		ioran 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. ( ( f ` c ) e. ( f " b ) \/ ( f ` c ) e. Y ) <-> ( -. ( f ` c ) e. ( f " b ) /\ -. ( f ` c ) e. Y ) )
116		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f ` c ) e. ( ( f " b ) u. Y ) <-> ( ( f ` c ) e. ( f " b ) \/ ( f ` c ) e. Y ) )
117	115, 116	xchnxbir 323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( f ` c ) e. ( ( f " b ) u. Y ) <-> ( -. ( f ` c ) e. ( f " b ) /\ -. ( f ` c ) e. Y ) )
118	106, 114, 117	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> -. ( f ` c ) e. ( ( f " b ) u. Y ) )
119		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f ` c ) e. _V
120	70, 119	domunsncan 8060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. c e. ( b u. X ) /\ -. ( f ` c ) e. ( ( f " b ) u. Y ) ) -> ( ( { c } u. ( b u. X ) ) ~<_ ( { ( f ` c ) } u. ( ( f " b ) u. Y ) ) <-> ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) ) )
121	96, 118, 120	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( { c } u. ( b u. X ) ) ~<_ ( { ( f ` c ) } u. ( ( f " b ) u. Y ) ) <-> ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) ) )
122	86, 121	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) ) )
123		bitr 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) ) /\ ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) )
124	123	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) ) -> ( ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) )
125	122, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) ) -> ( ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) )
126	125	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) )
127	126	a2d 29	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) -> ( ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) )
128	57, 127	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ( ( b C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( b u. X ) ~<_ ( ( f " b ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) -> ( ( ( ( b u. { c } ) C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( ( b u. { c } ) u. X ) ~<_ ( ( f " ( b u. { c } ) ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) )
129	13, 22, 31, 40, 51, 128	findcard2s 8201	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> ( ( ( A C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) )
130	129	expd 452	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin -> ( ( A C_ A /\ f : A -1-1-onto-> B ) -> ( ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) )
131	4, 130	mpani 712	. . . . . . 7 |- ( A e. Fin -> ( f : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) )
132	131	3imp 1256	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ f : A -1-1-onto-> B /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) )
133		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
134		foima 6120	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : A -onto-> B -> ( f " A ) = B )
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( f " A ) = B )
136	135	uneq1d 3766	. . . . . . . . 9 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( ( f " A ) u. Y ) = ( B u. Y ) )
137	136	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) ) )
138	137	bibi1d 333	. . . . . . 7 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) <-> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) )
139	138	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ f : A -1-1-onto-> B /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( ( A u. X ) ~<_ ( ( f " A ) u. Y ) <-> X ~<_ Y ) <-> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) )
140	132, 139	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ f : A -1-1-onto-> B /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) )
141	140	3exp 1264	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( f : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) )
142	141	exlimdv 1861	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) )
143	3, 142	syl5 34	. 2 |- ( A e. Fin -> ( B ~~ A -> ( ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) ) ) )
144	143	imp31 448	1 |- ( ( ( A e. Fin /\ B ~~ A ) /\ ( ( A i^i X ) = (/) /\ ( B i^i Y ) = (/) ) ) -> ( ( A u. X ) ~<_ ( B u. Y ) <-> X ~<_ Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  marypha1lem  8339