Theorem lo1mul 14358

Description: The product of an eventually upper bounded function and a positive eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1add2.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
o1add2.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V )
lo1add.3	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
lo1add.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. <_O(1) )
lo1mul.5	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
lo1mul	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( B x. C ) ) e. <_O(1) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   V( x)

Proof of Theorem lo1mul

Dummy variables m c n p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1add.3	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )
2		lo1add.4	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. <_O(1) )
3		reeanv 3107	. . . 4 |- ( E. m e. RR E. n e. RR ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ m ) /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> C <_ n ) ) <-> ( E. m e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ m ) /\ E. n e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> C <_ n ) ) )
4		o1add2.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
5	4	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A B e. V )
6		dmmptg 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
8		lo1dm 14250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
9	1, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
10	7, 9	eqsstr3d 3640	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ RR )
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> A C_ RR )
12		rexanre 14086	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ m /\ C <_ n ) ) <-> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ m ) /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> C <_ n ) ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ m /\ C <_ n ) ) <-> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ m ) /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> C <_ n ) ) ) )
14		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> m e. RR )
15		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> n e. RR )
16		0re 10040	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
17		ifcl 4130	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ n , n , 0 ) e. RR )
18	15, 16, 17	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> if ( 0 <_ n , n , 0 ) e. RR )
19	14, 18	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( m x. if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) e. RR )
20		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> n e. RR )
21		max2 12018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ n e. RR ) -> n <_ if ( 0 <_ n , n , 0 ) )
22	16, 20, 21	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> n <_ if ( 0 <_ n , n , 0 ) )
23		o1add2.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V )
24	23, 2	lo1mptrcl 14352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. RR )
25	24	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> C e. RR )
26	20, 16, 17	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ n , n , 0 ) e. RR )
27		letr 10131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. RR /\ n e. RR /\ if ( 0 <_ n , n , 0 ) e. RR ) -> ( ( C <_ n /\ n <_ if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) -> C <_ if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) )
28	25, 20, 26, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( C <_ n /\ n <_ if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) -> C <_ if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) )
29	22, 28	mpan2d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( C <_ n -> C <_ if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) )
30	4, 1	lo1mptrcl 14352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
31	30	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
32		lo1mul.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ B )
33	32	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> 0 <_ B )
34	31, 33	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
35		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> m e. RR )
36		max1 12016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ n e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ n , n , 0 ) )
37	16, 20, 36	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ n , n , 0 ) )
38	26, 37	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ n , n , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) )
39		lemul12b 10880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ m e. RR ) /\ ( C e. RR /\ ( if ( 0 <_ n , n , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) ) ) -> ( ( B <_ m /\ C <_ if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) -> ( B x. C ) <_ ( m x. if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) ) )
40	34, 35, 25, 38, 39	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ m /\ C <_ if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) -> ( B x. C ) <_ ( m x. if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) ) )
41	29, 40	sylan2d 499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ m /\ C <_ n ) -> ( B x. C ) <_ ( m x. if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) ) )
42	41	imim2d 57	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( c <_ x -> ( B <_ m /\ C <_ n ) ) -> ( c <_ x -> ( B x. C ) <_ ( m x. if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) ) ) )
43	42	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ m /\ C <_ n ) ) -> A. x e. A ( c <_ x -> ( B x. C ) <_ ( m x. if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) ) ) )
44		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = ( m x. if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) -> ( ( B x. C ) <_ p <-> ( B x. C ) <_ ( m x. if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) ) )
45	44	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( p = ( m x. if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) -> ( ( c <_ x -> ( B x. C ) <_ p ) <-> ( c <_ x -> ( B x. C ) <_ ( m x. if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) ) ) )
46	45	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( p = ( m x. if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) -> ( A. x e. A ( c <_ x -> ( B x. C ) <_ p ) <-> A. x e. A ( c <_ x -> ( B x. C ) <_ ( m x. if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) ) ) )
47	46	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m x. if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) e. RR /\ A. x e. A ( c <_ x -> ( B x. C ) <_ ( m x. if ( 0 <_ n , n , 0 ) ) ) ) -> E. p e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B x. C ) <_ p ) )
48	19, 43, 47	syl6an 568	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ m /\ C <_ n ) ) -> E. p e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B x. C ) <_ p ) ) )
49	48	reximdv 3016	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ m /\ C <_ n ) ) -> E. c e. RR E. p e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B x. C ) <_ p ) ) )
50	13, 49	sylbird 250	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ m ) /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> C <_ n ) ) -> E. c e. RR E. p e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B x. C ) <_ p ) ) )
51	50	rexlimdvva 3038	. . . 4 |- ( ph -> ( E. m e. RR E. n e. RR ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ m ) /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> C <_ n ) ) -> E. c e. RR E. p e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B x. C ) <_ p ) ) )
52	3, 51	syl5bir 233	. . 3 |- ( ph -> ( ( E. m e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ m ) /\ E. n e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> C <_ n ) ) -> E. c e. RR E. p e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B x. C ) <_ p ) ) )
53	10, 30	ello1mpt 14252	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. c e. RR E. m e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ m ) ) )
54		rexcom 3099	. . . . 5 |- ( E. c e. RR E. m e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ m ) <-> E. m e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ m ) )
55	53, 54	syl6bb 276	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. m e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ m ) ) )
56	10, 24	ello1mpt 14252	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. <_O(1) <-> E. c e. RR E. n e. RR A. x e. A ( c <_ x -> C <_ n ) ) )
57		rexcom 3099	. . . . 5 |- ( E. c e. RR E. n e. RR A. x e. A ( c <_ x -> C <_ n ) <-> E. n e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> C <_ n ) )
58	56, 57	syl6bb 276	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. <_O(1) <-> E. n e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> C <_ n ) ) )
59	55, 58	anbi12d 747	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) /\ ( x e. A |-> C ) e. <_O(1) ) <-> ( E. m e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ m ) /\ E. n e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> C <_ n ) ) ) )
60	30, 24	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B x. C ) e. RR )
61	10, 60	ello1mpt 14252	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( B x. C ) ) e. <_O(1) <-> E. c e. RR E. p e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B x. C ) <_ p ) ) )
62	52, 59, 61	3imtr4d 283	. 2 |- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) /\ ( x e. A |-> C ) e. <_O(1) ) -> ( x e. A |-> ( B x. C ) ) e. <_O(1) ) )
63	1, 2, 62	mp2and 715	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( B x. C ) ) e. <_O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   <_ cle 10075   <_O(1)clo1 14218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ico 12181  df-lo1 14222

This theorem is referenced by:  lo1mul2  14359  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270