Theorem o1lo1 14268

Description: A real function is eventually bounded iff it is eventually lower bounded and eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
o1lo1.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
o1lo1	|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) <-> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) /\ ( x e. A |-> -u B ) e. <_O(1) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem o1lo1

Dummy variables m c n p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1dm 14261	. . 3 |- ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR ) )
3		lo1dm 14250	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
4	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) /\ ( x e. A |-> -u B ) e. <_O(1) ) -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
5	4	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) /\ ( x e. A |-> -u B ) e. <_O(1) ) -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR ) )
6		o1lo1.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
7	6	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A B e. RR )
8		dmmptg 5632	. . . . 5 |- ( A. x e. A B e. RR -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
9	7, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
10	9	sseq1d 3632	. . 3 |- ( ph -> ( dom ( x e. A |-> B ) C_ RR <-> A C_ RR ) )
11		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ m e. RR ) -> m e. RR )
12	6	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
13	12	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ m e. RR ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
14		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ m e. RR ) /\ x e. A ) -> m e. RR )
15	13, 14	absled 14169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ m e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` B ) <_ m <-> ( -u m <_ B /\ B <_ m ) ) )
16		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u m <_ B /\ B <_ m ) <-> ( B <_ m /\ -u m <_ B ) )
17		lenegcon1 10532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u m <_ B <-> -u B <_ m ) )
18	14, 13, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ m e. RR ) /\ x e. A ) -> ( -u m <_ B <-> -u B <_ m ) )
19	18	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ m e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ m /\ -u m <_ B ) <-> ( B <_ m /\ -u B <_ m ) ) )
20	16, 19	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ m e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( -u m <_ B /\ B <_ m ) <-> ( B <_ m /\ -u B <_ m ) ) )
21	15, 20	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ m e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` B ) <_ m <-> ( B <_ m /\ -u B <_ m ) ) )
22	21	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ m e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) <-> ( c <_ x -> ( B <_ m /\ -u B <_ m ) ) ) )
23	22	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ m e. RR ) -> ( A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) <-> A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ m /\ -u B <_ m ) ) ) )
24	23	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ m e. RR ) -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) <-> E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ m /\ -u B <_ m ) ) ) )
25	24	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ m e. RR ) -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) -> E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ m /\ -u B <_ m ) ) ) )
26		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( B <_ n <-> B <_ m ) )
27	26	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( ( B <_ n /\ -u B <_ p ) <-> ( B <_ m /\ -u B <_ p ) ) )
28	27	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) <-> ( c <_ x -> ( B <_ m /\ -u B <_ p ) ) ) )
29	28	rexralbidv 3058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) <-> E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ m /\ -u B <_ p ) ) ) )
30		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = m -> ( -u B <_ p <-> -u B <_ m ) )
31	30	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = m -> ( ( B <_ m /\ -u B <_ p ) <-> ( B <_ m /\ -u B <_ m ) ) )
32	31	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = m -> ( ( c <_ x -> ( B <_ m /\ -u B <_ p ) ) <-> ( c <_ x -> ( B <_ m /\ -u B <_ m ) ) ) )
33	32	rexralbidv 3058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = m -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ m /\ -u B <_ p ) ) <-> E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ m /\ -u B <_ m ) ) ) )
34	29, 33	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. RR /\ m e. RR /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ m /\ -u B <_ m ) ) ) -> E. n e. RR E. p e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) )
35	34	3anidm12 1383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. RR /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ m /\ -u B <_ m ) ) ) -> E. n e. RR E. p e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) )
36	11, 25, 35	syl6an 568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ m e. RR ) -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) -> E. n e. RR E. p e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) ) )
37	36	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A C_ RR ) -> ( E. m e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) -> E. n e. RR E. p e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) ) )
38		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ n <_ p ) -> p e. RR )
39		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ -. n <_ p ) -> n e. RR )
40	38, 39	ifclda 4120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) -> if ( n <_ p , p , n ) e. RR )
41		max2 12018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. RR /\ p e. RR ) -> p <_ if ( n <_ p , p , n ) )
42	41	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> p <_ if ( n <_ p , p , n ) )
43	12	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
44	43	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
45		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> p e. RR )
46		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> n e. RR )
47	45, 46	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> if ( n <_ p , p , n ) e. RR )
48		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -u B e. RR /\ p e. RR /\ if ( n <_ p , p , n ) e. RR ) -> ( ( -u B <_ p /\ p <_ if ( n <_ p , p , n ) ) -> -u B <_ if ( n <_ p , p , n ) ) )
49	44, 45, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( -u B <_ p /\ p <_ if ( n <_ p , p , n ) ) -> -u B <_ if ( n <_ p , p , n ) ) )
50	42, 49	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( -u B <_ p -> -u B <_ if ( n <_ p , p , n ) ) )
51		lenegcon1 10532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. RR /\ if ( n <_ p , p , n ) e. RR ) -> ( -u B <_ if ( n <_ p , p , n ) <-> -u if ( n <_ p , p , n ) <_ B ) )
52	43, 47, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( -u B <_ if ( n <_ p , p , n ) <-> -u if ( n <_ p , p , n ) <_ B ) )
53	50, 52	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( -u B <_ p -> -u if ( n <_ p , p , n ) <_ B ) )
54		max1 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. RR /\ p e. RR ) -> n <_ if ( n <_ p , p , n ) )
55	54	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> n <_ if ( n <_ p , p , n ) )
56		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. RR /\ n e. RR /\ if ( n <_ p , p , n ) e. RR ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ if ( n <_ p , p , n ) ) -> B <_ if ( n <_ p , p , n ) ) )
57	43, 46, 47, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ n /\ n <_ if ( n <_ p , p , n ) ) -> B <_ if ( n <_ p , p , n ) ) )
58	55, 57	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( B <_ n -> B <_ if ( n <_ p , p , n ) ) )
59	53, 58	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( -u B <_ p /\ B <_ n ) -> ( -u if ( n <_ p , p , n ) <_ B /\ B <_ if ( n <_ p , p , n ) ) ) )
60	59	ancomsd 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ n /\ -u B <_ p ) -> ( -u if ( n <_ p , p , n ) <_ B /\ B <_ if ( n <_ p , p , n ) ) ) )
61	43, 47	absled 14169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( abs ` B ) <_ if ( n <_ p , p , n ) <-> ( -u if ( n <_ p , p , n ) <_ B /\ B <_ if ( n <_ p , p , n ) ) ) )
62	60, 61	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( B <_ n /\ -u B <_ p ) -> ( abs ` B ) <_ if ( n <_ p , p , n ) ) )
63	62	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) /\ x e. A ) -> ( ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) -> ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ if ( n <_ p , p , n ) ) ) )
64	63	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) -> ( A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) -> A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ if ( n <_ p , p , n ) ) ) )
65	64	reximdv 3016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) -> E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ if ( n <_ p , p , n ) ) ) )
66		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = if ( n <_ p , p , n ) -> ( ( abs ` B ) <_ m <-> ( abs ` B ) <_ if ( n <_ p , p , n ) ) )
67	66	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = if ( n <_ p , p , n ) -> ( ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) <-> ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ if ( n <_ p , p , n ) ) ) )
68	67	rexralbidv 3058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = if ( n <_ p , p , n ) -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) <-> E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ if ( n <_ p , p , n ) ) ) )
69	68	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( if ( n <_ p , p , n ) e. RR /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ if ( n <_ p , p , n ) ) ) -> E. m e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) )
70	40, 65, 69	syl6an 568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ ( n e. RR /\ p e. RR ) ) -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) -> E. m e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) ) )
71	70	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A C_ RR ) -> ( E. n e. RR E. p e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) -> E. m e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) ) )
72	37, 71	impbid 202	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A C_ RR ) -> ( E. m e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) <-> E. n e. RR E. p e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) ) )
73		rexanre 14086	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ RR -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) <-> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ n ) /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> -u B <_ p ) ) ) )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A C_ RR ) -> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) <-> ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ n ) /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> -u B <_ p ) ) ) )
75	74	2rexbidv 3057	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A C_ RR ) -> ( E. n e. RR E. p e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( B <_ n /\ -u B <_ p ) ) <-> E. n e. RR E. p e. RR ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ n ) /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> -u B <_ p ) ) ) )
76	72, 75	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A C_ RR ) -> ( E. m e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) <-> E. n e. RR E. p e. RR ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ n ) /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> -u B <_ p ) ) ) )
77		reeanv 3107	. . . . . . 7 |- ( E. n e. RR E. p e. RR ( E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ n ) /\ E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> -u B <_ p ) ) <-> ( E. n e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ n ) /\ E. p e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> -u B <_ p ) ) )
78	76, 77	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A C_ RR ) -> ( E. m e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) <-> ( E. n e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ n ) /\ E. p e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> -u B <_ p ) ) ) )
79		rexcom 3099	. . . . . 6 |- ( E. c e. RR E. m e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) <-> E. m e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) )
80		rexcom 3099	. . . . . . 7 |- ( E. c e. RR E. n e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ n ) <-> E. n e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ n ) )
81		rexcom 3099	. . . . . . 7 |- ( E. c e. RR E. p e. RR A. x e. A ( c <_ x -> -u B <_ p ) <-> E. p e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> -u B <_ p ) )
82	80, 81	anbi12i 733	. . . . . 6 |- ( ( E. c e. RR E. n e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ n ) /\ E. c e. RR E. p e. RR A. x e. A ( c <_ x -> -u B <_ p ) ) <-> ( E. n e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ n ) /\ E. p e. RR E. c e. RR A. x e. A ( c <_ x -> -u B <_ p ) ) )
83	78, 79, 82	3bitr4g 303	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A C_ RR ) -> ( E. c e. RR E. m e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) <-> ( E. c e. RR E. n e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ n ) /\ E. c e. RR E. p e. RR A. x e. A ( c <_ x -> -u B <_ p ) ) ) )
84		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A C_ RR ) -> A C_ RR )
85	12	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ x e. A ) -> B e. CC )
86	84, 85	elo1mpt 14265	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A C_ RR ) -> ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) <-> E. c e. RR E. m e. RR A. x e. A ( c <_ x -> ( abs ` B ) <_ m ) ) )
87	84, 12	ello1mpt 14252	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A C_ RR ) -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. c e. RR E. n e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ n ) ) )
88	12	renegcld 10457	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A C_ RR ) /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
89	84, 88	ello1mpt 14252	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A C_ RR ) -> ( ( x e. A |-> -u B ) e. <_O(1) <-> E. c e. RR E. p e. RR A. x e. A ( c <_ x -> -u B <_ p ) ) )
90	87, 89	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A C_ RR ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) /\ ( x e. A |-> -u B ) e. <_O(1) ) <-> ( E. c e. RR E. n e. RR A. x e. A ( c <_ x -> B <_ n ) /\ E. c e. RR E. p e. RR A. x e. A ( c <_ x -> -u B <_ p ) ) ) )
91	83, 86, 90	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( ( ph /\ A C_ RR ) -> ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) <-> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) /\ ( x e. A |-> -u B ) e. <_O(1) ) ) )
92	91	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( A C_ RR -> ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) <-> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) /\ ( x e. A |-> -u B ) e. <_O(1) ) ) ) )
93	10, 92	sylbid 230	. 2 |- ( ph -> ( dom ( x e. A |-> B ) C_ RR -> ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) <-> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) /\ ( x e. A |-> -u B ) e. <_O(1) ) ) ) )
94	2, 5, 93	pm5.21ndd 369	1 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) <-> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) /\ ( x e. A |-> -u B ) e. <_O(1) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888   RRcr 9935   <_ cle 10075   -ucneg 10267   abscabs 13974   O(1)co1 14217   <_O(1)clo1 14218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-o1 14221  df-lo1 14222

This theorem is referenced by:  o1lo12  14269  o1lo1d  14270  icco1  14271  lo1sub  14361