Theorem elmapex 7878

Description: Eliminate antecedent for mapping theorems: domain can be taken to be a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapex	|- ( A e. ( B ^m C ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )

Proof of Theorem elmapex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3920	. 2 |- ( A e. ( B ^m C ) -> -. ( B ^m C ) = (/) )
2		fnmap 7864	. . . 4 |- ^m Fn ( _V X. _V )
3		fndm 5990	. . . 4 |- ( ^m Fn ( _V X. _V ) -> dom ^m = ( _V X. _V ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- dom ^m = ( _V X. _V )
5	4	ndmov 6818	. 2 |- ( -. ( B e. _V /\ C e. _V ) -> ( B ^m C ) = (/) )
6	1, 5	nsyl2 142	1 |- ( A e. ( B ^m C ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Fn wfn 5883  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  elmapi  7879  elmapssres  7882  mapsspm  7891  mapss  7900  ralxpmap  7907  mapdom1  8125  wemapwe  8594  isf34lem6  9202  mndvcl  20197  mndvass  20198  mndvlid  20199  mndvrid  20200  grpvlinv  20201  grpvrinv  20202  mhmvlin  20203  tposmap  20263  mapfzcons  37279  elmapresaun  37334  ovnhoilem2  40816