Theorem mapfzcons 37279

Description: Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mapfzcons.1	|- M = ( N + 1 )

Assertion

Ref	Expression
mapfzcons	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> ( A u. { <. M , C >. } ) e. ( B ^m ( 1 ... M ) ) )

Proof of Theorem mapfzcons

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) )
2		elmapex 7878	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) -> ( B e. _V /\ ( 1 ... N ) e. _V ) )
3	2	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) -> B e. _V )
4	3	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> B e. _V )
5		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( 1 ... N ) e. _V
6		elmapg 7870	. . . . . . 7 |- ( ( B e. _V /\ ( 1 ... N ) e. _V ) -> ( A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) <-> A : ( 1 ... N ) --> B ) )
7	4, 5, 6	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> ( A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) <-> A : ( 1 ... N ) --> B ) )
8	1, 7	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> A : ( 1 ... N ) --> B )
9		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( N + 1 ) e. _V
10		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> C e. B )
11		f1osng 6177	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N + 1 ) e. _V /\ C e. B ) -> { <. ( N + 1 ) , C >. } : { ( N + 1 ) } -1-1-onto-> { C } )
12	9, 10, 11	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> { <. ( N + 1 ) , C >. } : { ( N + 1 ) } -1-1-onto-> { C } )
13		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( { <. ( N + 1 ) , C >. } : { ( N + 1 ) } -1-1-onto-> { C } -> { <. ( N + 1 ) , C >. } : { ( N + 1 ) } --> { C } )
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> { <. ( N + 1 ) , C >. } : { ( N + 1 ) } --> { C } )
15		snssi 4339	. . . . . . 7 |- ( C e. B -> { C } C_ B )
16	15	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> { C } C_ B )
17	14, 16	fssd 6057	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> { <. ( N + 1 ) , C >. } : { ( N + 1 ) } --> B )
18		fzp1disj 12399	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) i^i { ( N + 1 ) } ) = (/)
19	18	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> ( ( 1 ... N ) i^i { ( N + 1 ) } ) = (/) )
20		fun 6066	. . . . 5 |- ( ( ( A : ( 1 ... N ) --> B /\ { <. ( N + 1 ) , C >. } : { ( N + 1 ) } --> B ) /\ ( ( 1 ... N ) i^i { ( N + 1 ) } ) = (/) ) -> ( A u. { <. ( N + 1 ) , C >. } ) : ( ( 1 ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) --> ( B u. B ) )
21	8, 17, 19, 20	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> ( A u. { <. ( N + 1 ) , C >. } ) : ( ( 1 ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) --> ( B u. B ) )
22		1z 11407	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
23		simp1 1061	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> N e. NN0 )
24		nn0uz 11722	. . . . . . . . 9 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
25		1m1e0 11089	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 1 ) = 0
26	25	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) = ( ZZ>= ` 0 )
27	24, 26	eqtr4i 2647	. . . . . . . 8 |- NN0 = ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) )
28	23, 27	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> N e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) )
29		fzsuc2 12398	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( 1 - 1 ) ) ) -> ( 1 ... ( N + 1 ) ) = ( ( 1 ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )
30	22, 28, 29	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> ( 1 ... ( N + 1 ) ) = ( ( 1 ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) )
31	30	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> ( ( 1 ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
32		unidm 3756	. . . . . 6 |- ( B u. B ) = B
33	32	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> ( B u. B ) = B )
34	31, 33	feq23d 6040	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> ( ( A u. { <. ( N + 1 ) , C >. } ) : ( ( 1 ... N ) u. { ( N + 1 ) } ) --> ( B u. B ) <-> ( A u. { <. ( N + 1 ) , C >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) --> B ) )
35	21, 34	mpbid 222	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> ( A u. { <. ( N + 1 ) , C >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) --> B )
36		ovex 6678	. . . 4 |- ( 1 ... ( N + 1 ) ) e. _V
37		elmapg 7870	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ ( 1 ... ( N + 1 ) ) e. _V ) -> ( ( A u. { <. ( N + 1 ) , C >. } ) e. ( B ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) <-> ( A u. { <. ( N + 1 ) , C >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) --> B ) )
38	4, 36, 37	sylancl 694	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> ( ( A u. { <. ( N + 1 ) , C >. } ) e. ( B ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) <-> ( A u. { <. ( N + 1 ) , C >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) --> B ) )
39	35, 38	mpbird 247	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> ( A u. { <. ( N + 1 ) , C >. } ) e. ( B ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
40		mapfzcons.1	. . . . 5 |- M = ( N + 1 )
41	40	opeq1i 4405	. . . 4 |- <. M , C >. = <. ( N + 1 ) , C >.
42	41	sneqi 4188	. . 3 |- { <. M , C >. } = { <. ( N + 1 ) , C >. }
43	42	uneq2i 3764	. 2 |- ( A u. { <. M , C >. } ) = ( A u. { <. ( N + 1 ) , C >. } )
44	40	oveq2i 6661	. . 3 |- ( 1 ... M ) = ( 1 ... ( N + 1 ) )
45	44	oveq2i 6661	. 2 |- ( B ^m ( 1 ... M ) ) = ( B ^m ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
46	39, 43, 45	3eltr4g 2718	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ( B ^m ( 1 ... N ) ) /\ C e. B ) -> ( A u. { <. M , C >. } ) e. ( B ^m ( 1 ... M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  rexrabdioph  37358