ovnhoilem2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem ovnhoilem2 40816

Description: The Lebesgue outer measure of a multidimensional half-open interval is less than or equal to the product of its length in each dimension. Second part of the proof of Proposition 115D (b) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ovnhoilem2.x
ovnhoilem2.n
ovnhoilem2.a
ovnhoilem2.b
ovnhoilem2.i
ovnhoilem2.l
ovnhoilem2.m	$/\$ Σ^{^}
ovnhoilem2.f
ovnhoilem2.s

**Assertion**
Ref	Expression
ovnhoilem2	voln^*

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

**Proof of Theorem ovnhoilem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnhoilem2.m	. . . . . . . . . 10 $/\$ Σ^{^}
2	1	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 $/\$ Σ^{^}
3		rabid 3116	. . . . . . . . 9 $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ Σ^{^}
4	2, 3	bitri 264	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Σ^{^}
5	4	biimpi 206	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Σ^{^}
6	5	simprd 479	. . . . . 6 $/\$ Σ^{^}
7	6	adantl 482	. . . . 5 $/\$ $/\$ Σ^{^}
8		ovnhoilem2.l	. . . . . . . . . 10
9		ovnhoilem2.x	. . . . . . . . . . 11
10	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
11		ovnhoilem2.a	. . . . . . . . . . 11
12	11	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
13		ovnhoilem2.b	. . . . . . . . . . 11
14	13	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
15		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16	15	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
17		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
19	18	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
20		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . 16
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	21, 22	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
24		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
26		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28	15, 27	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29		elmapex 7878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
30	29	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
33		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
34	25, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
35	23, 34	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
36		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13
37	35, 36	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14
39		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	39	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
42		ovnhoilem2.f	. . . . . . . . . . . . . . 15
43	42	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
44	38, 41, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13
45	44	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . 12
46	37, 45	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11
47	46	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
48		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	19, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
50		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	49, 50	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
52		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
53	25, 32, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
54	51, 53	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
55		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13
56	54, 55	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12
57	39	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
59		ovnhoilem2.s	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	59	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	38, 58, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13
62	61	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . 12
63	56, 62	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11
64	63	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
65		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
66		ovnhoilem2.i	. . . . . . . . . . . . . 14
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
68		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
69	68	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
70	69	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
71	69	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
72	70, 71	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73	72	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74	73	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
76	15	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
77		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
80		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
81	79, 80	fvovco 39381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
82	81	ixpeq2dva 7923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
83	82	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . . . . . 16
84		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
85	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
86	84, 85, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
87	86	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
88		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
89		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
90	31, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
92	36	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
93	88, 91, 92	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
94	87, 93	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
95	94	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
97		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
98		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
99	98	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
100	99	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
101		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
102		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
103	97, 100, 101, 102	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
104	103	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
105	96, 104	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
106	61	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
108		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
109	31, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
111	55	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
112	88, 110, 111	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
113	107, 112	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
114	113	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
116		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
117		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
118	117	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
120		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
121	116, 119, 101, 120	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
122	121	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
123	115, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
124	105, 123	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
125	124	ixpeq2dva 7923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	125	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . . . . . 16
127	75, 83, 126	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . 15
128	127	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
129	128	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
130	67, 129	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
131	65, 130	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
132	131	3adant3r 1323	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
133	8, 10, 12, 14, 47, 64, 132	hoidmvle 40814	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
134		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
135	134	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
136	135	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
137	136	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
138	137	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
139	138	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
140	139	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
141		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
143	142	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
144	143	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
145		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
146		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
147	141, 144, 145, 146	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
148	147	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
149	140, 148	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
150	136	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
151	150	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
152	151	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
153	152	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
154		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
155	142	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
156	155	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
157		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
158	154, 156, 145, 157	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
159	158	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
160	153, 159	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
161	149, 160	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
162	161	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
163	162	prodeq2dv 14653	. . . . . . . . . . . . . . . 16
164	163	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . 15
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
166	81	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
167	166	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
168	167	prodeq2dv 14653	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
169	168	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . 14
170	165, 169	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13
171	170	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 Σ^{^} Σ^{^}
172	171	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
173	94	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
174	113	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
175	173, 174	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
176	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
177		ovnhoilem2.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
178	177	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
179	19	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
180	179, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
181	180, 22	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
182	179, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
183	182, 50	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
184	8, 176, 178, 181, 183	hoidmvn0val 40798	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
185	175, 184	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
186	185	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
187	186	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
188	187	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^} Σ^{^}
189		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
190	172, 188, 189	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
191	190	3adant3l 1322	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
192	133, 191	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
193	192	3exp 1264	. . . . . . 7 $/\$ Σ^{^}
194	193	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ Σ^{^}
195	194	rexlimdv 3030	. . . . 5 $/\$ $/\$ Σ^{^}
196	7, 195	mpd 15	. . . 4 $/\$
197	196	ralrimiva 2966	. . 3
198		ssrab2 3687	. . . . . 6 $/\$ Σ^{^}
199	1, 198	eqsstri 3635	. . . . 5
200	199	a1i 11	. . . 4
201		icossxr 12258	. . . . 5
202	8, 9, 11, 13	hoidmvcl 40796	. . . . 5
203	201, 202	sseldi 3601	. . . 4
204		infxrgelb 12165	. . . 4 $/\$ inf
205	200, 203, 204	syl2anc 693	. . 3 inf
206	197, 205	mpbird 247	. 2 inf
207	66	a1i 11	. . . . 5
208		nfv 1843	. . . . . 6
209	11	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 $/\$
210	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 $/\$
211	210	rexrd 10089	. . . . . 6 $/\$
212	208, 209, 211	hoissrrn2 40792	. . . . 5
213	207, 212	eqsstrd 3639	. . . 4
214	9, 177, 213, 1	ovnn0val 40765	. . 3 voln^* inf
215	214	eqcomd 2628	. 2 inf voln^*
216	206, 215	breqtrd 4679	1 voln^*

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200

wss 3574

c0 3915

cif 4086

ciun 4520 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

ccom 5118

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

c1st 7166

c2nd 7167

cmap 7857

cixp 7908

cfn 7955 infcinf 8347

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

cpnf 10071

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cn 11020

cico 12177

cprod 14635

cvol 23232 Σ^{^}csumge0 40579 voln^*covoln 40750

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-prod 14636 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-sumge0 40580 df-ovoln 40751

This theorem is referenced by: ovnhoi 40817

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