Theorem elom3 8545

Description: A simplification of elom 7068 assuming the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-May-2003.)

Assertion

Ref	Expression
elom3	|- ( A e. om <-> A. x ( Lim x -> A e. x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem elom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elom 7068	. 2 |- ( A e. om <-> ( A e. On /\ A. x ( Lim x -> A e. x ) ) )
2		limom 7080	. . . . 5 |- Lim om
3		omex 8540	. . . . . 6 |- om e. _V
4		limeq 5735	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( Lim x <-> Lim om ) )
5		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( A e. x <-> A e. om ) )
6	4, 5	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( ( Lim x -> A e. x ) <-> ( Lim om -> A e. om ) ) )
7	3, 6	spcv 3299	. . . . 5 |- ( A. x ( Lim x -> A e. x ) -> ( Lim om -> A e. om ) )
8	2, 7	mpi 20	. . . 4 |- ( A. x ( Lim x -> A e. x ) -> A e. om )
9		nnon 7071	. . . 4 |- ( A e. om -> A e. On )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( A. x ( Lim x -> A e. x ) -> A e. On )
11	10	pm4.71ri 665	. 2 |- ( A. x ( Lim x -> A e. x ) <-> ( A e. On /\ A. x ( Lim x -> A e. x ) ) )
12	1, 11	bitr4i 267	1 |- ( A e. om <-> A. x ( Lim x -> A e. x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   omcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066

This theorem is referenced by:  dfom4  8546  dfom5  8547