Theorem en3 8197

Description: A set equinumerous to ordinal 3 is a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en3	|- ( A ~~ 3o -> E. x E. y E. z A = { x , y , z } )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem en3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 7720	. 2 |- 2o e. om
2		df-3o 7562	. 2 |- 3o = suc 2o
3		en2 8196	. 2 |- ( ( A \ { x } ) ~~ 2o -> E. y E. z ( A \ { x } ) = { y , z } )
4		tpass 4287	. . . 4 |- { x , y , z } = ( { x } u. { y , z } )
5	4	enp1ilem 8194	. . 3 |- ( x e. A -> ( ( A \ { x } ) = { y , z } -> A = { x , y , z } ) )
6	5	2eximdv 1848	. 2 |- ( x e. A -> ( E. y E. z ( A \ { x } ) = { y , z } -> E. y E. z A = { x , y , z } ) )
7	1, 2, 3, 6	enp1i 8195	1 |- ( A ~~ 3o -> E. x E. y E. z A = { x , y , z } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   \ cdif 3571   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   class class class wbr 4653   2oc2o 7554   3oc3o 7555   ~~ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-2o 7561  df-3o 7562  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  en4  8198  hash3tr  13272