Theorem eqinf 8390

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by AV, 2-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
infexd.1	|- ( ph -> R Or A )

Assertion

Ref	Expression
eqinf	|- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   y, B, z   y, R, z   y, C, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z)

Proof of Theorem eqinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 8349	. . 3 |- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R )
2		infexd.1	. . . . . 6 |- ( ph -> R Or A )
3		cnvso 5674	. . . . . 6 |- ( R Or A <-> `' R Or A )
4	2, 3	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> `' R Or A )
5	4	eqsup 8362	. . . 4 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) -> sup ( B , A , `' R ) = C ) )
6		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
7		brcnvg 5303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. A /\ y e. _V ) -> ( C `' R y <-> y R C ) )
8	7	bicomd 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. A /\ y e. _V ) -> ( y R C <-> C `' R y ) )
9	6, 8	mpan2 707	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( y R C <-> C `' R y ) )
10	9	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( C e. A -> ( -. y R C <-> -. C `' R y ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( C e. A -> ( A. y e. B -. y R C <-> A. y e. B -. C `' R y ) )
12		brcnvg 5303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. _V /\ C e. A ) -> ( y `' R C <-> C R y ) )
13	6, 12	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. A -> ( y `' R C <-> C R y ) )
14	13	bicomd 213	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( C R y <-> y `' R C ) )
15		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
16	6, 15	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y `' R z <-> z R y )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. A -> ( y `' R z <-> z R y ) )
18	17	bicomd 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. A -> ( z R y <-> y `' R z ) )
19	18	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( E. z e. B z R y <-> E. z e. B y `' R z ) )
20	14, 19	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( C e. A -> ( ( C R y -> E. z e. B z R y ) <-> ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
21	20	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( C e. A -> ( A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) <-> A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
22	11, 21	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( C e. A -> ( ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
23	22	pm5.32i 669	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
24		3anass 1042	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
25		3anass 1042	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
26	23, 24, 25	3bitr4i 292	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
27	26	biimpi 206	. . . 4 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) )
28	5, 27	impel 485	. . 3 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> sup ( B , A , `' R ) = C )
29	1, 28	syl5eq 2668	. 2 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> inf ( B , A , R ) = C )
30	29	ex 450	1 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   Or wor 5034   `'ccnv 5113   supcsup 8346  infcinf 8347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-po 5035  df-so 5036  df-cnv 5122  df-iota 5851  df-riota 6611  df-sup 8348  df-inf 8349

This theorem is referenced by:  eqinfd  8391  infxr  39583