Theorem fge0npnf 40584

Description: If F maps to nonnegative reals, then +oo is not in its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fge0npnf.1	|- ( ph -> F : X --> ( 0 [,) +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
fge0npnf	|- ( ph -> -. +oo e. ran F )

Proof of Theorem fge0npnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0npnf.1	. . . . 5 |- ( ph -> F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
2		frn 6053	. . . . 5 |- ( F : X --> ( 0 [,) +oo ) -> ran F C_ ( 0 [,) +oo ) )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ran F C_ ( 0 [,) +oo ) )
4	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> ran F C_ ( 0 [,) +oo ) )
5		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> +oo e. ran F )
6	4, 5	sseldd 3604	. 2 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> +oo e. ( 0 [,) +oo ) )
7		0xr 10086	. . . 4 |- 0 e. RR*
8		icoub 39752	. . . 4 |- ( 0 e. RR* -> -. +oo e. ( 0 [,) +oo ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 |- -. +oo e. ( 0 [,) +oo )
10	9	a1i 11	. 2 |- ( ( ph /\ +oo e. ran F ) -> -. +oo e. ( 0 [,) +oo ) )
11	6, 10	pm2.65da 600	1 |- ( ph -> -. +oo e. ran F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ran crn 5115   -->wf 5884  (class class class)co 6650   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   [,)cico 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-ico 12181

This theorem is referenced by:  sge0reval  40589  sge0fsum  40604