Theorem sge0fsum 40604

Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +oo (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0fsum.x	|- ( ph -> X e. Fin )
sge0fsum.f	|- ( ph -> F : X --> ( 0 [,) +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
sge0fsum	|- ( ph -> (Σ^ ` F ) = sum_ x e. X ( F ` x ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, X   ph, x

Proof of Theorem sge0fsum

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0fsum.x	. . 3 |- ( ph -> X e. Fin )
2		sge0fsum.f	. . . 4 |- ( ph -> F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
3	2	fge0icoicc 40582	. . 3 |- ( ph -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
4	1, 3	sge0xrcl 40602	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` F ) e. RR* )
5		rge0ssre 12280	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
6	2	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
7	5, 6	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. RR )
8	1, 7	fsumrecl 14465	. . 3 |- ( ph -> sum_ x e. X ( F ` x ) e. RR )
9	8	rexrd 10089	. 2 |- ( ph -> sum_ x e. X ( F ` x ) e. RR* )
10	1, 2	sge0reval 40589	. . 3 |- ( ph -> (Σ^ ` F ) = sup ( ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) , RR* , < ) )
11		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) ) -> w e. ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) )
12		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) ) -> w e. _V )
14		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) = ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) )
15	14	elrnmpt 5372	. . . . . . . 8 |- ( w e. _V -> ( w e. ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) <-> E. y e. ( ~P X i^i Fin ) w = sum_ x e. y ( F ` x ) ) )
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) ) -> ( w e. ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) <-> E. y e. ( ~P X i^i Fin ) w = sum_ x e. y ( F ` x ) ) )
17	11, 16	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) ) -> E. y e. ( ~P X i^i Fin ) w = sum_ x e. y ( F ` x ) )
18		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) /\ w = sum_ x e. y ( F ` x ) ) -> w = sum_ x e. y ( F ` x ) )
19	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> X e. Fin )
20	2	fge0npnf 40584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -. +oo e. ran F )
21	3, 20	fge0iccre 40591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : X --> RR )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> F : X --> RR )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ x e. X ) -> F : X --> RR )
24		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
25	23, 24	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. RR )
26		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ x e. X ) -> 0 e. RR* )
28		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e. RR*
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ x e. X ) -> +oo e. RR* )
30	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
31	30	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
32		iccgelb 12230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ x e. X ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
34		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ~P X i^i Fin ) -> y e. ~P X )
35		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ~P X -> y C_ X )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P X i^i Fin ) -> y C_ X )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> y C_ X )
38	19, 25, 33, 37	fsumless 14528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> sum_ x e. y ( F ` x ) <_ sum_ x e. X ( F ` x ) )
39	38	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) /\ w = sum_ x e. y ( F ` x ) ) -> sum_ x e. y ( F ` x ) <_ sum_ x e. X ( F ` x ) )
40	18, 39	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) /\ w = sum_ x e. y ( F ` x ) ) -> w <_ sum_ x e. X ( F ` x ) )
41	40	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( ~P X i^i Fin ) -> ( w = sum_ x e. y ( F ` x ) -> w <_ sum_ x e. X ( F ` x ) ) ) )
42	41	rexlimdv 3030	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. y e. ( ~P X i^i Fin ) w = sum_ x e. y ( F ` x ) -> w <_ sum_ x e. X ( F ` x ) ) )
43	42	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) ) -> ( E. y e. ( ~P X i^i Fin ) w = sum_ x e. y ( F ` x ) -> w <_ sum_ x e. X ( F ` x ) ) )
44	17, 43	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) ) -> w <_ sum_ x e. X ( F ` x ) )
45	44	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. w e. ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) w <_ sum_ x e. X ( F ` x ) )
46		elinel2 3800	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ~P X i^i Fin ) -> y e. Fin )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
48	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> F : X --> RR )
49	37	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> x e. X )
50	48, 49	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> ( F ` x ) e. RR )
51	47, 50	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> sum_ x e. y ( F ` x ) e. RR )
52	51	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> sum_ x e. y ( F ` x ) e. RR* )
53	52	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. ( ~P X i^i Fin ) sum_ x e. y ( F ` x ) e. RR* )
54	14	rnmptss 6392	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( ~P X i^i Fin ) sum_ x e. y ( F ` x ) e. RR* -> ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) C_ RR* )
55	53, 54	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) C_ RR* )
56		supxrleub 12156	. . . . 5 |- ( ( ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) C_ RR* /\ sum_ x e. X ( F ` x ) e. RR* ) -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) , RR* , < ) <_ sum_ x e. X ( F ` x ) <-> A. w e. ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) w <_ sum_ x e. X ( F ` x ) ) )
57	55, 9, 56	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) , RR* , < ) <_ sum_ x e. X ( F ` x ) <-> A. w e. ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) w <_ sum_ x e. X ( F ` x ) ) )
58	45, 57	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( y e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ x e. y ( F ` x ) ) , RR* , < ) <_ sum_ x e. X ( F ` x ) )
59	10, 58	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` F ) <_ sum_ x e. X ( F ` x ) )
60		ssid 3624	. . . 4 |- X C_ X
61	60	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> X C_ X )
62	1, 2, 61, 1	fsumlesge0 40594	. 2 |- ( ph -> sum_ x e. X ( F ` x ) <_ (Σ^ ` F ) )
63	4, 9, 59, 62	xrletrid 11986	1 |- ( ph -> (Σ^ ` F ) = sum_ x e. X ( F ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0fsummpt  40607  sge0sup  40608  sge0ltfirp  40617  sge0le  40624  sge0iunmptlemfi  40630  sge0ltfirpmpt2  40643  sge0fsummptf  40653  omeiunltfirp  40733