Theorem fiinfg 8405

Description: Lemma showing existence and closure of infimum of a finite set. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiinfg	|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) )

Distinct variable groups:   x, R, y, z   x, A, y, z

Proof of Theorem fiinfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiming 8404	. 2 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) )
2		equcom 1945	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y <-> y = x )
3		sotrieq2 5063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Or A /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> ( y = x <-> ( -. y R x /\ -. x R y ) ) )
4	3	ancom2s 844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( y = x <-> ( -. y R x /\ -. x R y ) ) )
5	2, 4	syl5bb 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x = y <-> ( -. y R x /\ -. x R y ) ) )
6	5	simprbda 653	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ x = y ) -> -. y R x )
7	6	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x = y -> -. y R x ) )
8	7	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x = y -> -. y R x ) )
9	8	a1dd 50	. . . . . . 7 |- ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x = y -> ( ( x =/= y -> x R y ) -> -. y R x ) ) )
10		pm2.27 42	. . . . . . . 8 |- ( x =/= y -> ( ( x =/= y -> x R y ) -> x R y ) )
11		so2nr 5059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Or A /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> -. ( y R x /\ x R y ) )
12	11	ancom2s 844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> -. ( y R x /\ x R y ) )
13		pm3.21 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( x R y -> ( y R x -> ( y R x /\ x R y ) ) )
14	13	con3d 148	. . . . . . . . . 10 |- ( x R y -> ( -. ( y R x /\ x R y ) -> -. y R x ) )
15	12, 14	syl5com 31	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x R y -> -. y R x ) )
16	15	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x R y -> -. y R x ) )
17	10, 16	syl9r 78	. . . . . . 7 |- ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x =/= y -> ( ( x =/= y -> x R y ) -> -. y R x ) ) )
18	9, 17	pm2.61dne 2880	. . . . . 6 |- ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x =/= y -> x R y ) -> -. y R x ) )
19	18	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) -> A. y e. A -. y R x ) )
20		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( z R y <-> x R y ) )
21	20	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ x R y ) -> E. z e. A z R y )
22	21	ex 450	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x R y -> E. z e. A z R y ) )
23	22	ralrimivw 2967	. . . . . 6 |- ( x e. A -> A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) )
24	23	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ x e. A ) -> A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) )
25	19, 24	jctird 567	. . . 4 |- ( ( R Or A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) -> ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) )
26	25	reximdva 3017	. . 3 |- ( R Or A -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) )
27	26	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) )
28	1, 27	mpd 15	1 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  fiinf2g  8406