Theorem fmco 21765

Description: Composition of image filters. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmco	|- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( ( X FilMap ( F o. G ) ) ` B ) = ( ( X FilMap F ) ` ( ( Y FilMap G ) ` B ) ) )

Proof of Theorem fmco

Dummy variables t s u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> B e. ( fBas ` Z ) )
2		ssfg 21676	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( fBas ` Z ) -> B C_ ( Z filGen B ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> B C_ ( Z filGen B ) )
4	3	sseld 3602	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( u e. B -> u e. ( Z filGen B ) ) )
5		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> Y e. W )
6		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> G : Z --> Y )
7		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z filGen B ) = ( Z filGen B )
8	7	imaelfm 21755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) /\ G : Z --> Y ) /\ u e. ( Z filGen B ) ) -> ( G " u ) e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) )
9	8	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) /\ G : Z --> Y ) -> ( u e. ( Z filGen B ) -> ( G " u ) e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) ) )
10	5, 1, 6, 9	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( u e. ( Z filGen B ) -> ( G " u ) e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) ) )
11	4, 10	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( u e. B -> ( G " u ) e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) ) )
12	11	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) /\ u e. B ) -> ( G " u ) e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) )
13		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( G " u ) -> ( F " t ) = ( F " ( G " u ) ) )
14		imaco 5640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F o. G ) " u ) = ( F " ( G " u ) )
15	13, 14	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( G " u ) -> ( F " t ) = ( ( F o. G ) " u ) )
16	15	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( t = ( G " u ) -> ( ( F " t ) C_ s <-> ( ( F o. G ) " u ) C_ s ) )
17	16	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G " u ) e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) /\ ( ( F o. G ) " u ) C_ s ) -> E. t e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) ( F " t ) C_ s )
18	17	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( G " u ) e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) -> ( ( ( F o. G ) " u ) C_ s -> E. t e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) ( F " t ) C_ s ) )
19	12, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) /\ u e. B ) -> ( ( ( F o. G ) " u ) C_ s -> E. t e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) ( F " t ) C_ s ) )
20	19	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( E. u e. B ( ( F o. G ) " u ) C_ s -> E. t e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) ( F " t ) C_ s ) )
21		elfm 21751	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) /\ G : Z --> Y ) -> ( t e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) <-> ( t C_ Y /\ E. u e. B ( G " u ) C_ t ) ) )
22	5, 1, 6, 21	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( t e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) <-> ( t C_ Y /\ E. u e. B ( G " u ) C_ t ) ) )
23		sstr2 3610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F o. G ) " u ) C_ ( F " t ) -> ( ( F " t ) C_ s -> ( ( F o. G ) " u ) C_ s ) )
24		imass2 5501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G " u ) C_ t -> ( F " ( G " u ) ) C_ ( F " t ) )
25	14, 24	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G " u ) C_ t -> ( ( F o. G ) " u ) C_ ( F " t ) )
26	23, 25	syl11 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " t ) C_ s -> ( ( G " u ) C_ t -> ( ( F o. G ) " u ) C_ s ) )
27	26	reximdv 3016	. . . . . . . . 9 |- ( ( F " t ) C_ s -> ( E. u e. B ( G " u ) C_ t -> E. u e. B ( ( F o. G ) " u ) C_ s ) )
28	27	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( E. u e. B ( G " u ) C_ t -> ( ( F " t ) C_ s -> E. u e. B ( ( F o. G ) " u ) C_ s ) )
29	28	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( t C_ Y /\ E. u e. B ( G " u ) C_ t ) -> ( ( F " t ) C_ s -> E. u e. B ( ( F o. G ) " u ) C_ s ) )
30	22, 29	syl6bi 243	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( t e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) -> ( ( F " t ) C_ s -> E. u e. B ( ( F o. G ) " u ) C_ s ) ) )
31	30	rexlimdv 3030	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( E. t e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) ( F " t ) C_ s -> E. u e. B ( ( F o. G ) " u ) C_ s ) )
32	20, 31	impbid 202	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( E. u e. B ( ( F o. G ) " u ) C_ s <-> E. t e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) ( F " t ) C_ s ) )
33	32	anbi2d 740	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( ( s C_ X /\ E. u e. B ( ( F o. G ) " u ) C_ s ) <-> ( s C_ X /\ E. t e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) ( F " t ) C_ s ) ) )
34		simpl1 1064	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> X e. V )
35		fco 6058	. . . . 5 |- ( ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) -> ( F o. G ) : Z --> X )
36	35	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( F o. G ) : Z --> X )
37		elfm 21751	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ B e. ( fBas ` Z ) /\ ( F o. G ) : Z --> X ) -> ( s e. ( ( X FilMap ( F o. G ) ) ` B ) <-> ( s C_ X /\ E. u e. B ( ( F o. G ) " u ) C_ s ) ) )
38	34, 1, 36, 37	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( s e. ( ( X FilMap ( F o. G ) ) ` B ) <-> ( s C_ X /\ E. u e. B ( ( F o. G ) " u ) C_ s ) ) )
39		fmfil 21748	. . . . . 6 |- ( ( Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) /\ G : Z --> Y ) -> ( ( Y FilMap G ) ` B ) e. ( Fil ` Y ) )
40	5, 1, 6, 39	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( ( Y FilMap G ) ` B ) e. ( Fil ` Y ) )
41		filfbas 21652	. . . . 5 |- ( ( ( Y FilMap G ) ` B ) e. ( Fil ` Y ) -> ( ( Y FilMap G ) ` B ) e. ( fBas ` Y ) )
42	40, 41	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( ( Y FilMap G ) ` B ) e. ( fBas ` Y ) )
43		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> F : Y --> X )
44		elfm 21751	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ ( ( Y FilMap G ) ` B ) e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( s e. ( ( X FilMap F ) ` ( ( Y FilMap G ) ` B ) ) <-> ( s C_ X /\ E. t e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) ( F " t ) C_ s ) ) )
45	34, 42, 43, 44	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( s e. ( ( X FilMap F ) ` ( ( Y FilMap G ) ` B ) ) <-> ( s C_ X /\ E. t e. ( ( Y FilMap G ) ` B ) ( F " t ) C_ s ) ) )
46	33, 38, 45	3bitr4d 300	. 2 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( s e. ( ( X FilMap ( F o. G ) ) ` B ) <-> s e. ( ( X FilMap F ) ` ( ( Y FilMap G ) ` B ) ) ) )
47	46	eqrdv 2620	1 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W /\ B e. ( fBas ` Z ) ) /\ ( F : Y --> X /\ G : Z --> Y ) ) -> ( ( X FilMap ( F o. G ) ) ` B ) = ( ( X FilMap F ) ` ( ( Y FilMap G ) ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   C_ wss 3574   "cima 5117   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649   FilMap cfm 21737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-fm 21742

This theorem is referenced by:  ufldom  21766  flfcnp  21808