Theorem ufldom 21766

Description: The ultrafilter lemma property is a cardinal invariant, so since it transfers to subsets it also transfers over set dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ufldom	|- ( ( X e. UFL /\ Y ~<_ X ) -> Y e. UFL )

Proof of Theorem ufldom

Dummy variables u x f g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domeng 7969	. . 3 |- ( X e. UFL -> ( Y ~<_ X <-> E. x ( Y ~~ x /\ x C_ X ) ) )
2		bren 7964	. . . . . . . 8 |- ( Y ~~ x <-> E. f f : Y -1-1-onto-> x )
3	2	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( Y ~~ x -> E. f f : Y -1-1-onto-> x )
4		ssufl 21722	. . . . . . 7 |- ( ( X e. UFL /\ x C_ X ) -> x e. UFL )
5		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) -> x e. UFL )
6		filfbas 21652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g e. ( Fil ` Y ) -> g e. ( fBas ` Y ) )
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) -> g e. ( fBas ` Y ) )
8		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : Y -1-1-onto-> x -> f : Y --> x )
9	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) -> f : Y --> x )
10		fmfil 21748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. UFL /\ g e. ( fBas ` Y ) /\ f : Y --> x ) -> ( ( x FilMap f ) ` g ) e. ( Fil ` x ) )
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) -> ( ( x FilMap f ) ` g ) e. ( Fil ` x ) )
12		ufli 21718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. UFL /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) e. ( Fil ` x ) ) -> E. y e. ( UFil ` x ) ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y )
13	5, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) -> E. y e. ( UFil ` x ) ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y )
14		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : Y -1-1-onto-> x -> dom f = Y )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) -> dom f = Y )
16		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- f e. _V
17	16	dmex 7099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom f e. _V
18	15, 17	syl6eqelr 2710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) -> Y e. _V )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> Y e. _V )
20		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> y e. ( UFil ` x ) )
21		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : Y -1-1-onto-> x -> `' f : x -1-1-onto-> Y )
22	21	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> `' f : x -1-1-onto-> Y )
23		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' f : x -1-1-onto-> Y -> `' f : x --> Y )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> `' f : x --> Y )
25		fmufil 21763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Y e. _V /\ y e. ( UFil ` x ) /\ `' f : x --> Y ) -> ( ( Y FilMap `' f ) ` y ) e. ( UFil ` Y ) )
26	19, 20, 24, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> ( ( Y FilMap `' f ) ` y ) e. ( UFil ` Y ) )
27		f1ococnv1 6165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f : Y -1-1-onto-> x -> ( `' f o. f ) = ( _I |` Y ) )
28	27	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> ( `' f o. f ) = ( _I |` Y ) )
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> ( Y FilMap ( `' f o. f ) ) = ( Y FilMap ( _I |` Y ) ) )
30	29	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> ( ( Y FilMap ( `' f o. f ) ) ` g ) = ( ( Y FilMap ( _I |` Y ) ) ` g ) )
31	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> x e. UFL )
32	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> g e. ( fBas ` Y ) )
33	8	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> f : Y --> x )
34		fmco 21765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Y e. _V /\ x e. UFL /\ g e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( `' f : x --> Y /\ f : Y --> x ) ) -> ( ( Y FilMap ( `' f o. f ) ) ` g ) = ( ( Y FilMap `' f ) ` ( ( x FilMap f ) ` g ) ) )
35	19, 31, 32, 24, 33, 34	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> ( ( Y FilMap ( `' f o. f ) ) ` g ) = ( ( Y FilMap `' f ) ` ( ( x FilMap f ) ` g ) ) )
36		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> g e. ( Fil ` Y ) )
37		fmid 21764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g e. ( Fil ` Y ) -> ( ( Y FilMap ( _I |` Y ) ) ` g ) = g )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> ( ( Y FilMap ( _I |` Y ) ) ` g ) = g )
39	30, 35, 38	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> ( ( Y FilMap `' f ) ` ( ( x FilMap f ) ` g ) ) = g )
40	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> ( ( x FilMap f ) ` g ) e. ( Fil ` x ) )
41		filfbas 21652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x FilMap f ) ` g ) e. ( Fil ` x ) -> ( ( x FilMap f ) ` g ) e. ( fBas ` x ) )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> ( ( x FilMap f ) ` g ) e. ( fBas ` x ) )
43		ufilfil 21708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( UFil ` x ) -> y e. ( Fil ` x ) )
44		filfbas 21652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. ( Fil ` x ) -> y e. ( fBas ` x ) )
45	20, 43, 44	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> y e. ( fBas ` x ) )
46		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y )
47		fmss 21750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Y e. _V /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) e. ( fBas ` x ) /\ y e. ( fBas ` x ) ) /\ ( `' f : x --> Y /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> ( ( Y FilMap `' f ) ` ( ( x FilMap f ) ` g ) ) C_ ( ( Y FilMap `' f ) ` y ) )
48	19, 42, 45, 24, 46, 47	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> ( ( Y FilMap `' f ) ` ( ( x FilMap f ) ` g ) ) C_ ( ( Y FilMap `' f ) ` y ) )
49	39, 48	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> g C_ ( ( Y FilMap `' f ) ` y ) )
50		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( ( Y FilMap `' f ) ` y ) -> ( g C_ u <-> g C_ ( ( Y FilMap `' f ) ` y ) ) )
51	50	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Y FilMap `' f ) ` y ) e. ( UFil ` Y ) /\ g C_ ( ( Y FilMap `' f ) ` y ) ) -> E. u e. ( UFil ` Y ) g C_ u )
52	26, 49, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) /\ ( y e. ( UFil ` x ) /\ ( ( x FilMap f ) ` g ) C_ y ) ) -> E. u e. ( UFil ` Y ) g C_ u )
53	13, 52	rexlimddv 3035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) /\ g e. ( Fil ` Y ) ) -> E. u e. ( UFil ` Y ) g C_ u )
54	53	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) -> A. g e. ( Fil ` Y ) E. u e. ( UFil ` Y ) g C_ u )
55		isufl 21717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. _V -> ( Y e. UFL <-> A. g e. ( Fil ` Y ) E. u e. ( UFil ` Y ) g C_ u ) )
56	18, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) -> ( Y e. UFL <-> A. g e. ( Fil ` Y ) E. u e. ( UFil ` Y ) g C_ u ) )
57	54, 56	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) -> Y e. UFL )
58	57	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( f : Y -1-1-onto-> x -> ( x e. UFL -> Y e. UFL ) )
59	58	exlimiv 1858	. . . . . . . 8 |- ( E. f f : Y -1-1-onto-> x -> ( x e. UFL -> Y e. UFL ) )
60	59	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( E. f f : Y -1-1-onto-> x /\ x e. UFL ) -> Y e. UFL )
61	3, 4, 60	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( Y ~~ x /\ ( X e. UFL /\ x C_ X ) ) -> Y e. UFL )
62	61	an12s 843	. . . . 5 |- ( ( X e. UFL /\ ( Y ~~ x /\ x C_ X ) ) -> Y e. UFL )
63	62	ex 450	. . . 4 |- ( X e. UFL -> ( ( Y ~~ x /\ x C_ X ) -> Y e. UFL ) )
64	63	exlimdv 1861	. . 3 |- ( X e. UFL -> ( E. x ( Y ~~ x /\ x C_ X ) -> Y e. UFL ) )
65	1, 64	sylbid 230	. 2 |- ( X e. UFL -> ( Y ~<_ X -> Y e. UFL ) )
66	65	imp 445	1 |- ( ( X e. UFL /\ Y ~<_ X ) -> Y e. UFL )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   _I cid 5023   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   fBascfbas 19734   Filcfil 21649   UFilcufil 21703  UFLcufl 21704   FilMap cfm 21737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-ufil 21705  df-ufl 21706  df-fm 21742

This theorem is referenced by: (None)