Theorem imaco 5640

Description: Image of the composition of two classes. (Contributed by Jason Orendorff, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
imaco	|- ( ( A o. B ) " C ) = ( A " ( B " C ) )

Proof of Theorem imaco

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2918	. . 3 |- ( E. y e. ( B " C ) y A x <-> E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) )
2		vex 3203	. . . 4 |- x e. _V
3	2	elima 5471	. . 3 |- ( x e. ( A " ( B " C ) ) <-> E. y e. ( B " C ) y A x )
4		rexcom4 3225	. . . . 5 |- ( E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) <-> E. y E. z e. C ( z B y /\ y A x ) )
5		r19.41v 3089	. . . . . 6 |- ( E. z e. C ( z B y /\ y A x ) <-> ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
6	5	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. y E. z e. C ( z B y /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
7	4, 6	bitri 264	. . . 4 |- ( E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
8	2	elima 5471	. . . . 5 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. z e. C z ( A o. B ) x )
9		vex 3203	. . . . . . 7 |- z e. _V
10	9, 2	brco 5292	. . . . . 6 |- ( z ( A o. B ) x <-> E. y ( z B y /\ y A x ) )
11	10	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. z e. C z ( A o. B ) x <-> E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) )
12	8, 11	bitri 264	. . . 4 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. z e. C E. y ( z B y /\ y A x ) )
13		vex 3203	. . . . . . 7 |- y e. _V
14	13	elima 5471	. . . . . 6 |- ( y e. ( B " C ) <-> E. z e. C z B y )
15	14	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) <-> ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
16	15	exbii 1774	. . . 4 |- ( E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) <-> E. y ( E. z e. C z B y /\ y A x ) )
17	7, 12, 16	3bitr4i 292	. . 3 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> E. y ( y e. ( B " C ) /\ y A x ) )
18	1, 3, 17	3bitr4ri 293	. 2 |- ( x e. ( ( A o. B ) " C ) <-> x e. ( A " ( B " C ) ) )
19	18	eqriv 2619	1 |- ( ( A o. B ) " C ) = ( A " ( B " C ) )

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   "cima 5117   o. ccom 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127

This theorem is referenced by:  fvco2  6273  supp0cosupp0  7334  imacosupp  7335  fipreima  8272  fsuppcolem  8306  psgnunilem1  17913  gsumzf1o  18313  dprdf1o  18431  frlmup3  20139  f1lindf  20161  lindfmm  20166  cnco  21070  cnpco  21071  ptrescn  21442  xkoco1cn  21460  xkoco2cn  21461  xkococnlem  21462  qtopcn  21517  fmco  21765  uniioombllem3  23353  cncombf  23425  deg1val  23856  ofpreima  29465  mbfmco  30326  eulerpartlemmf  30437  erdsze2lem2  31186  cvmliftmolem1  31263  cvmlift2lem9a  31285  cvmlift2lem9  31293  mclsppslem  31480  poimirlem15  33424  poimirlem16  33425  poimirlem19  33428  cnambfre  33458  ftc1anclem3  33487  trclimalb2  38018  brtrclfv2  38019  frege97d  38044  frege109d  38049  frege131d  38056  extoimad  38464  imo72b2lem0  38465  imo72b2lem2  38467  imo72b2lem1  38471  imo72b2  38475  limccog  39852  smfco  41009