Theorem filfbas 21652

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 21651	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) <-> ( F e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. ~P X ( ( F i^i ~P x ) =/= (/) -> x e. F ) ) )
2	1	simplbi 476	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888   fBascfbas 19734   Filcfil 21649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-fil 21650

This theorem is referenced by:  0nelfil  21653  filsspw  21655  filelss  21656  filin  21658  filtop  21659  snfbas  21670  fgfil  21679  elfilss  21680  filfinnfr  21681  fgabs  21683  filconn  21687  fgtr  21694  trfg  21695  ufilb  21710  ufilmax  21711  isufil2  21712  ssufl  21722  ufileu  21723  filufint  21724  ufilen  21734  fmfg  21753  fmufil  21763  fmid  21764  fmco  21765  ufldom  21766  hausflim  21785  flimrest  21787  flimclslem  21788  flfnei  21795  isflf  21797  flfcnp  21808  fclsrest  21828  fclsfnflim  21831  flimfnfcls  21832  isfcf  21838  cnpfcfi  21844  cnpfcf  21845  cnextcn  21871  cfilufg  22097  neipcfilu  22100  cnextucn  22107  ucnextcn  22108  cfilresi  23093  cfilres  23094  cmetss  23113  relcmpcmet  23115  cfilucfil3  23117  minveclem4a  23201  filnetlem4  32376