Theorem fnemeet1 32361

Description: The meet of a collection of equivalence classes of covers with respect to fineness. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnemeet1	|- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) Fne A )

Distinct variable groups:   y, t, A   t, S, y   t, V   t, X, y

Allowed substitution hint:   V( y)

Proof of Theorem fnemeet1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitg 20771	. . . . . . . 8 |- ( t e. S -> U. ( topGen ` t ) = U. t )
2	1	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) /\ t e. S ) -> U. ( topGen ` t ) = U. t )
3		unieq 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( y = t -> U. y = U. t )
4	3	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( y = t -> ( X = U. y <-> X = U. t ) )
5	4	rspccva 3308	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. S X = U. y /\ t e. S ) -> X = U. t )
6	5	3ad2antl2 1224	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) /\ t e. S ) -> X = U. t )
7	2, 6	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) /\ t e. S ) -> U. ( topGen ` t ) = X )
8		eqimss 3657	. . . . . 6 |- ( U. ( topGen ` t ) = X -> U. ( topGen ` t ) C_ X )
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) /\ t e. S ) -> U. ( topGen ` t ) C_ X )
10		sspwuni 4611	. . . . 5 |- ( ( topGen ` t ) C_ ~P X <-> U. ( topGen ` t ) C_ X )
11	9, 10	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) /\ t e. S ) -> ( topGen ` t ) C_ ~P X )
12	11	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> A. t e. S ( topGen ` t ) C_ ~P X )
13		ne0i 3921	. . . 4 |- ( A e. S -> S =/= (/) )
14	13	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> S =/= (/) )
15		riinn0 4595	. . 3 |- ( ( A. t e. S ( topGen ` t ) C_ ~P X /\ S =/= (/) ) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = |^|_ t e. S ( topGen ` t ) )
16	12, 14, 15	syl2anc 693	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = |^|_ t e. S ( topGen ` t ) )
17		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> A e. S )
18		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` A ) C_ ( topGen ` A )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( t = A -> ( topGen ` t ) = ( topGen ` A ) )
20	19	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( t = A -> ( ( topGen ` t ) C_ ( topGen ` A ) <-> ( topGen ` A ) C_ ( topGen ` A ) ) )
21	20	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. S /\ ( topGen ` A ) C_ ( topGen ` A ) ) -> E. t e. S ( topGen ` t ) C_ ( topGen ` A ) )
22	17, 18, 21	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> E. t e. S ( topGen ` t ) C_ ( topGen ` A ) )
23		iinss 4571	. . . . . . 7 |- ( E. t e. S ( topGen ` t ) C_ ( topGen ` A ) -> |^|_ t e. S ( topGen ` t ) C_ ( topGen ` A ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> |^|_ t e. S ( topGen ` t ) C_ ( topGen ` A ) )
25	24	unissd 4462	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> U. |^|_ t e. S ( topGen ` t ) C_ U. ( topGen ` A ) )
26		unitg 20771	. . . . . 6 |- ( A e. S -> U. ( topGen ` A ) = U. A )
27	26	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> U. ( topGen ` A ) = U. A )
28	25, 27	sseqtrd 3641	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> U. |^|_ t e. S ( topGen ` t ) C_ U. A )
29		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = A -> U. y = U. A )
30	29	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = A -> ( X = U. y <-> X = U. A ) )
31	30	rspccva 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> X = U. A )
32	31	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> X = U. A )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) /\ t e. S ) -> X = U. A )
34	33, 6	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) /\ t e. S ) -> U. A = U. t )
35		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) /\ t e. S ) -> t e. S )
36		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- t C_ t
37		eltg3i 20765	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. S /\ t C_ t ) -> U. t e. ( topGen ` t ) )
38	35, 36, 37	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) /\ t e. S ) -> U. t e. ( topGen ` t ) )
39	34, 38	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) /\ t e. S ) -> U. A e. ( topGen ` t ) )
40	39	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> A. t e. S U. A e. ( topGen ` t ) )
41		uniexg 6955	. . . . . . . 8 |- ( A e. S -> U. A e. _V )
42	41	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> U. A e. _V )
43		eliin 4525	. . . . . . 7 |- ( U. A e. _V -> ( U. A e. |^|_ t e. S ( topGen ` t ) <-> A. t e. S U. A e. ( topGen ` t ) ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> ( U. A e. |^|_ t e. S ( topGen ` t ) <-> A. t e. S U. A e. ( topGen ` t ) ) )
45	40, 44	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> U. A e. |^|_ t e. S ( topGen ` t ) )
46		elssuni 4467	. . . . 5 |- ( U. A e. |^|_ t e. S ( topGen ` t ) -> U. A C_ U. |^|_ t e. S ( topGen ` t ) )
47	45, 46	syl 17	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> U. A C_ U. |^|_ t e. S ( topGen ` t ) )
48	28, 47	eqssd 3620	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> U. |^|_ t e. S ( topGen ` t ) = U. A )
49		eqid 2622	. . . 4 |- U. |^|_ t e. S ( topGen ` t ) = U. |^|_ t e. S ( topGen ` t )
50		eqid 2622	. . . 4 |- U. A = U. A
51	49, 50	isfne4 32335	. . 3 |- ( |^|_ t e. S ( topGen ` t ) Fne A <-> ( U. |^|_ t e. S ( topGen ` t ) = U. A /\ |^|_ t e. S ( topGen ` t ) C_ ( topGen ` A ) ) )
52	48, 24, 51	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> |^|_ t e. S ( topGen ` t ) Fne A )
53	16, 52	eqbrtrd 4675	1 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ A e. S ) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) Fne A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   topGenctg 16098   Fnecfne 32331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-fne 32332

This theorem is referenced by:  fnemeet2  32362