Theorem topjoin 32360

Description: Two equivalent formulations of the join of a collection of topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topjoin	|- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) = |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } )

Distinct variable groups:   j, k, S   j, V, k   j, X, k

Proof of Theorem topjoin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 20718	. . . . . . 7 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> k e. Top )
2	1	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> k e. Top )
3		toponmax 20730	. . . . . . . . 9 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> X e. k )
4	3	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> X e. k )
5	4	snssd 4340	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> { X } C_ k )
6		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> A. j e. S j C_ k )
7		unissb 4469	. . . . . . . 8 |- ( U. S C_ k <-> A. j e. S j C_ k )
8	6, 7	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> U. S C_ k )
9	5, 8	unssd 3789	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> ( { X } u. U. S ) C_ k )
10		tgfiss 20795	. . . . . 6 |- ( ( k e. Top /\ ( { X } u. U. S ) C_ k ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k )
11	2, 9, 10	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k )
12	11	expr 643	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ k e. (TopOn ` X ) ) -> ( A. j e. S j C_ k -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k ) )
13	12	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> A. k e. (TopOn ` X ) ( A. j e. S j C_ k -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k ) )
14		ssintrab 4500	. . 3 |- ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } <-> A. k e. (TopOn ` X ) ( A. j e. S j C_ k -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k ) )
15	13, 14	sylibr 224	. 2 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } )
16		fibas 20781	. . . . . 6 |- ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) e. TopBases
17		tgtopon 20775	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) e. TopBases -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. (TopOn ` U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. (TopOn ` U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
19		uniun 4456	. . . . . . . 8 |- U. ( { X } u. U. S ) = ( U. { X } u. U. U. S )
20		unisng 4452	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. V -> U. { X } = X )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. { X } = X )
22	21	uneq1d 3766	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( U. { X } u. U. U. S ) = ( X u. U. U. S ) )
23	19, 22	syl5req 2669	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( X u. U. U. S ) = U. ( { X } u. U. S ) )
24		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> S C_ (TopOn ` X ) )
25		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> X = U. k )
26		eqimss2 3658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X = U. k -> U. k C_ X )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> U. k C_ X )
28		sspwuni 4611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k C_ ~P X <-> U. k C_ X )
29	27, 28	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> k C_ ~P X )
30		selpw 4165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ~P ~P X <-> k C_ ~P X )
31	29, 30	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> k e. ~P ~P X )
32	31	ssriv 3607	. . . . . . . . . . 11 |- (TopOn ` X ) C_ ~P ~P X
33	24, 32	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> S C_ ~P ~P X )
34		sspwuni 4611	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ ~P ~P X <-> U. S C_ ~P X )
35	33, 34	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. S C_ ~P X )
36		sspwuni 4611	. . . . . . . . 9 |- ( U. S C_ ~P X <-> U. U. S C_ X )
37	35, 36	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. U. S C_ X )
38		ssequn2 3786	. . . . . . . 8 |- ( U. U. S C_ X <-> ( X u. U. U. S ) = X )
39	37, 38	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( X u. U. U. S ) = X )
40		snex 4908	. . . . . . . . 9 |- { X } e. _V
41		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- (TopOn ` X ) e. _V
42	41	ssex 4802	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ (TopOn ` X ) -> S e. _V )
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> S e. _V )
44		uniexg 6955	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. _V -> U. S e. _V )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. S e. _V )
46		unexg 6959	. . . . . . . . 9 |- ( ( { X } e. _V /\ U. S e. _V ) -> ( { X } u. U. S ) e. _V )
47	40, 45, 46	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( { X } u. U. S ) e. _V )
48		fiuni 8334	. . . . . . . 8 |- ( ( { X } u. U. S ) e. _V -> U. ( { X } u. U. S ) = U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. ( { X } u. U. S ) = U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
50	23, 39, 49	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> X = U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
51	50	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> (TopOn ` X ) = (TopOn ` U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
52	18, 51	syl5eleqr 2708	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. (TopOn ` X ) )
53		elssuni 4467	. . . . . . . 8 |- ( j e. S -> j C_ U. S )
54		ssun2 3777	. . . . . . . 8 |- U. S C_ ( { X } u. U. S )
55	53, 54	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( j e. S -> j C_ ( { X } u. U. S ) )
56		ssfii 8325	. . . . . . . 8 |- ( ( { X } u. U. S ) e. _V -> ( { X } u. U. S ) C_ ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
57	47, 56	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( { X } u. U. S ) C_ ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
58	55, 57	sylan9ssr 3617	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ j e. S ) -> j C_ ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
59		bastg 20770	. . . . . . 7 |- ( ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) e. TopBases -> ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
60	16, 59	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
61	58, 60	syl6ss 3615	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ j e. S ) -> j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
62	61	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> A. j e. S j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
63		sseq2 3627	. . . . . 6 |- ( k = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) -> ( j C_ k <-> j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) ) )
64	63	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( k = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) -> ( A. j e. S j C_ k <-> A. j e. S j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) ) )
65	64	elrab 3363	. . . 4 |- ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } <-> ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) ) )
66	52, 62, 65	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } )
67		intss1 4492	. . 3 |- ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } -> |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
68	66, 67	syl 17	. 2 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
69	15, 68	eqssd 3620	1 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) = |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |^|cint 4475   ` cfv 5888   ficfi 8316   topGenctg 16098   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750

This theorem is referenced by: (None)