Theorem fpwrelmap 29508

Description: Define a canonical mapping between functions from A into subsets of B and the relations with domain A and range within B. Note that the same relation is used in axdc2lem 9270 and marypha2lem1 8341. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwrelmap.1	|- A e. _V
fpwrelmap.2	|- B e. _V
fpwrelmap.3	|- M = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
fpwrelmap	|- M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Allowed substitution hints:   M( x, y, f)

Proof of Theorem fpwrelmap

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwrelmap.3	. . 3 |- M = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
2		fpwrelmap.1	. . . . . 6 |- A e. _V
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> A e. _V )
4		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. ( f ` x ) )
5		elmapi 7879	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> f : A --> ~P B )
6	5	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. ~P B )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( f ` x ) e. ~P B )
8		elelpwi 4171	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( f ` x ) /\ ( f ` x ) e. ~P B ) -> y e. B )
9	4, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. B )
10	9	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
11	10	alrimiv 1855	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
12		abss 3671	. . . . . . 7 |- ( { y | y e. ( f ` x ) } C_ B <-> A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) )
13		fpwrelmap.2	. . . . . . . 8 |- B e. _V
14	13	ssex 4802	. . . . . . 7 |- ( { y | y e. ( f ` x ) } C_ B -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
15	12, 14	sylbir 225	. . . . . 6 |- ( A. y ( y e. ( f ` x ) -> y e. B ) -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
16	11, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } e. _V )
17	3, 16	opabex3d 7145	. . . 4 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } e. _V )
18	17	adantl 482	. . 3 |- ( ( T. /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } e. _V )
19	2	mptex 6486	. . . 4 |- ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) e. _V
20	19	a1i 11	. . 3 |- ( ( T. /\ r e. ~P ( A X. B ) ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) e. _V )
21	10	imdistanda 729	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
22	21	ssopab2dv 5004	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
23	22	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
24		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
25		df-xp 5120	. . . . . . . . 9 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) } )
27	23, 24, 26	3sstr4d 3648	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r C_ ( A X. B ) )
28		selpw 4165	. . . . . . 7 |- ( r e. ~P ( A X. B ) <-> r C_ ( A X. B ) )
29	27, 28	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r e. ~P ( A X. B ) )
30	5	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> f = ( x e. A |-> ( f ` x ) ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> f = ( x e. A |-> ( f ` x ) ) )
32		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ x f e. ( ~P B ^m A )
33		nfopab1 4719	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
34	33	nfeq2 2780	. . . . . . . . 9 |- F/ x r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
35	32, 34	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ x ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
36		df-rab 2921	. . . . . . . . . 10 |- { y e. B | x r y } = { y | ( y e. B /\ x r y ) }
37	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y e. B | x r y } = { y | ( y e. B /\ x r y ) } )
38		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y f e. ( ~P B ^m A )
39		nfopab2 4720	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
40	39	nfeq2 2780	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
41	38, 40	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
42		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y x e. A
43	41, 42	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A )
44	9	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> y e. B )
45		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x r y <-> <. x , y >. e. r )
46		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( <. x , y >. e. r <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
47		opabid 4982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) )
48	46, 47	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( <. x , y >. e. r <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
49	45, 48	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
50	49	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
51		elfvdm 6220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( f ` x ) -> x e. dom f )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x e. dom f )
53		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f : A --> ~P B -> dom f = A )
54	5, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> dom f = A )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> dom f = A )
56	52, 55	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x e. A )
57	56	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> x e. A ) )
58	57	pm4.71rd 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
59	58	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
60	50, 59	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y <-> y e. ( f ` x ) ) )
61	60	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y )
62	44, 61	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> ( y e. B /\ x r y ) )
63	62	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) -> ( y e. B /\ x r y ) ) )
64	60	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( x r y -> y e. ( f ` x ) ) )
65	64	adantld 483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( ( y e. B /\ x r y ) -> y e. ( f ` x ) ) )
66	63, 65	impbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
67	43, 66	abbid 2740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } = { y | ( y e. B /\ x r y ) } )
68		abid2 2745	. . . . . . . . . 10 |- { y | y e. ( f ` x ) } = ( f ` x )
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> { y | y e. ( f ` x ) } = ( f ` x ) )
70	37, 67, 69	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = { y e. B | x r y } )
71	35, 70	mpteq2da 4743	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( x e. A |-> ( f ` x ) ) = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
72	31, 71	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
73	29, 72	jca 554	. . . . 5 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
74		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . 12 |- { y e. B | x r y } C_ B
75	13	elpw2 4828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { y e. B | x r y } e. ~P B <-> { y e. B | x r y } C_ B )
76	74, 75	mpbir 221	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. B | x r y } e. ~P B
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ x e. A ) -> { y e. B | x r y } e. ~P B )
78		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
79	77, 78	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ~P ( A X. B ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B )
80	79	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B )
81		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
82	81	feq1d 6030	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f : A --> ~P B <-> ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) : A --> ~P B ) )
83	80, 82	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f : A --> ~P B )
84	13	pwex 4848	. . . . . . . 8 |- ~P B e. _V
85	84, 2	elmap 7886	. . . . . . 7 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) <-> f : A --> ~P B )
86	83, 85	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> f e. ( ~P B ^m A ) )
87		elpwi 4168	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. ~P ( A X. B ) -> r C_ ( A X. B ) )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r C_ ( A X. B ) )
89		xpss 5226	. . . . . . . . 9 |- ( A X. B ) C_ ( _V X. _V )
90	88, 89	syl6ss 3615	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r C_ ( _V X. _V ) )
91		df-rel 5121	. . . . . . . 8 |- ( Rel r <-> r C_ ( _V X. _V ) )
92	90, 91	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> Rel r )
93		relopab 5247	. . . . . . . 8 |- Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) }
94	93	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
95		id 22	. . . . . . 7 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
96		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ x r e. ~P ( A X. B )
97		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
98	97	nfeq2 2780	. . . . . . . . 9 |- F/ x f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
99	96, 98	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ x ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
100		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ y r e. ~P ( A X. B )
101	42	nfci 2754	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y A
102		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y { y e. B | x r y }
103	101, 102	nfmpt 4746	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
104	103	nfeq2 2780	. . . . . . . . 9 |- F/ y f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } )
105	100, 104	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ y ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) )
106		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x r
107		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ y r
108		brelg 29421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r C_ ( A X. B ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
109	87, 108	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
110	109	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
111	110	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> x e. A )
112	110	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> y e. B )
113		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> x r y )
114	81	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f ` x ) = ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) )
115	13	rabex 4813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { y e. B | x r y } e. _V
116	78	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. A /\ { y e. B | x r y } e. _V ) -> ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) = { y e. B | x r y } )
117	115, 116	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. A -> ( ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ` x ) = { y e. B | x r y } )
118	114, 117	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) = { y e. B | x r y } )
119	118	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> y e. { y e. B | x r y } ) )
120		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { y e. B | x r y } <-> ( y e. B /\ x r y ) )
121	119, 120	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
122	111, 121	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( y e. ( f ` x ) <-> ( y e. B /\ x r y ) ) )
123	112, 113, 122	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> y e. ( f ` x ) )
124	111, 123	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x r y ) -> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) )
125	124	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x r y -> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
126	121	simplbda 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) /\ x e. A ) /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y )
127	126	expl 648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) -> x r y ) )
128	125, 127	impbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( x r y <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
129	45, 128	syl5bbr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( <. x , y >. e. r <-> ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) ) )
130	129, 47	syl6bbr 278	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( <. x , y >. e. r <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
131	99, 105, 106, 107, 33, 39, 130	eqrelrd2 29426	. . . . . . 7 |- ( ( ( Rel r /\ Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) /\ ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
132	92, 94, 95, 131	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
133	86, 132	jca 554	. . . . 5 |- ( ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) -> ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) )
134	73, 133	impbii 199	. . . 4 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) <-> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) )
135	134	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) <-> ( r e. ~P ( A X. B ) /\ f = ( x e. A |-> { y e. B | x r y } ) ) ) )
136	1, 18, 20, 135	f1od 6885	. 2 |- ( T. -> M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B ) )
137	136	trud 1493	1 |- M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   {cab 2608   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Rel wrel 5119   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  29509