Theorem fpwrelmapffs 29509

Description: Define a canonical mapping between finite relations (finite subsets of a cartesian product) and functions with finite support into finite subsets. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwrelmap.1	|- A e. _V
fpwrelmap.2	|- B e. _V
fpwrelmap.3	|- M = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
fpwrelmapffs.1	|- S = { f e. ( ( ~P B i^i Fin ) ^m A ) | ( f supp (/) ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
fpwrelmapffs	|- ( M |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A X. B ) i^i Fin )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, f)   M( x, y, f)

Proof of Theorem fpwrelmapffs

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwrelmap.3	. . . 4 |- M = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
2		fpwrelmap.1	. . . . . 6 |- A e. _V
3		fpwrelmap.2	. . . . . 6 |- B e. _V
4	2, 3, 1	fpwrelmap 29508	. . . . 5 |- M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B )
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> M : ( ~P B ^m A ) -1-1-onto-> ~P ( A X. B ) )
6		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> f e. ( ~P B ^m A ) )
7	3	pwex 4848	. . . . . . . 8 |- ~P B e. _V
8	7, 2	elmap 7886	. . . . . . 7 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) <-> f : A --> ~P B )
9	6, 8	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> f : A --> ~P B )
10		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } )
11	2, 3, 9, 10	fpwrelmapffslem 29507	. . . . 5 |- ( ( f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( r e. Fin <-> ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) ) )
12	11	3adant1 1079	. . . 4 |- ( ( T. /\ f e. ( ~P B ^m A ) /\ r = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( f ` x ) ) } ) -> ( r e. Fin <-> ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) ) )
13	1, 5, 12	f1oresrab 6395	. . 3 |- ( T. -> ( M |` { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } ) : { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } -1-1-onto-> { r e. ~P ( A X. B ) | r e. Fin } )
14	13	trud 1493	. 2 |- ( M |` { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } ) : { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } -1-1-onto-> { r e. ~P ( A X. B ) | r e. Fin }
15		fpwrelmapffs.1	. . . . 5 |- S = { f e. ( ( ~P B i^i Fin ) ^m A ) | ( f supp (/) ) e. Fin }
16	2, 7	maprnin 29506	. . . . . 6 |- ( ( ~P B i^i Fin ) ^m A ) = { f e. ( ~P B ^m A ) | ran f C_ Fin }
17		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ f ( ( ~P B i^i Fin ) ^m A )
18		nfrab1 3122	. . . . . . 7 |- F/_ f { f e. ( ~P B ^m A ) | ran f C_ Fin }
19	17, 18	rabeqf 3190	. . . . . 6 |- ( ( ( ~P B i^i Fin ) ^m A ) = { f e. ( ~P B ^m A ) | ran f C_ Fin } -> { f e. ( ( ~P B i^i Fin ) ^m A ) | ( f supp (/) ) e. Fin } = { f e. { f e. ( ~P B ^m A ) | ran f C_ Fin } | ( f supp (/) ) e. Fin } )
20	16, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- { f e. ( ( ~P B i^i Fin ) ^m A ) | ( f supp (/) ) e. Fin } = { f e. { f e. ( ~P B ^m A ) | ran f C_ Fin } | ( f supp (/) ) e. Fin }
21		rabrab 29338	. . . . 5 |- { f e. { f e. ( ~P B ^m A ) | ran f C_ Fin } | ( f supp (/) ) e. Fin } = { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) }
22	15, 20, 21	3eqtri 2648	. . . 4 |- S = { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) }
23		dfin5 3582	. . . 4 |- ( ~P ( A X. B ) i^i Fin ) = { r e. ~P ( A X. B ) | r e. Fin }
24		f1oeq23 6130	. . . 4 |- ( ( S = { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } /\ ( ~P ( A X. B ) i^i Fin ) = { r e. ~P ( A X. B ) | r e. Fin } ) -> ( ( M |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A X. B ) i^i Fin ) <-> ( M |` S ) : { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } -1-1-onto-> { r e. ~P ( A X. B ) | r e. Fin } ) )
25	22, 23, 24	mp2an 708	. . 3 |- ( ( M |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A X. B ) i^i Fin ) <-> ( M |` S ) : { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } -1-1-onto-> { r e. ~P ( A X. B ) | r e. Fin } )
26	22	reseq2i 5393	. . . 4 |- ( M |` S ) = ( M |` { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } )
27		f1oeq1 6127	. . . 4 |- ( ( M |` S ) = ( M |` { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } ) -> ( ( M |` S ) : { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } -1-1-onto-> { r e. ~P ( A X. B ) | r e. Fin } <-> ( M |` { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } ) : { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } -1-1-onto-> { r e. ~P ( A X. B ) | r e. Fin } ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( M |` S ) : { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } -1-1-onto-> { r e. ~P ( A X. B ) | r e. Fin } <-> ( M |` { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } ) : { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } -1-1-onto-> { r e. ~P ( A X. B ) | r e. Fin } )
29	25, 28	bitr2i 265	. 2 |- ( ( M |` { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } ) : { f e. ( ~P B ^m A ) | ( ran f C_ Fin /\ ( f supp (/) ) e. Fin ) } -1-1-onto-> { r e. ~P ( A X. B ) | r e. Fin } <-> ( M |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A X. B ) i^i Fin ) )
30	14, 29	mpbi 220	1 |- ( M |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P ( A X. B ) i^i Fin )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  eulerpartlem1  30429