Theorem fpwrelmapffslem 29507

Description: Lemma for fpwrelmapffs 29509. For this theorem, the sets A and B could be infinite, but the relation R itself is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpwrelmapffslem.1	|- A e. _V
fpwrelmapffslem.2	|- B e. _V
fpwrelmapffslem.3	|- ( ph -> F : A --> ~P B )
fpwrelmapffslem.4	|- ( ph -> R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
fpwrelmapffslem	|- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem fpwrelmapffslem

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpwrelmapffslem.4	. . 3 |- ( ph -> R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
2		relopab 5247	. . . 4 |- Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
3		releq 5201	. . . 4 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> ( Rel R <-> Rel { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } ) )
4	2, 3	mpbiri 248	. . 3 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> Rel R )
5		relfi 29415	. . 3 |- ( Rel R -> ( R e. Fin <-> ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) ) )
6	1, 4, 5	3syl 18	. 2 |- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) ) )
7		rexcom4 3225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. A E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. z E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
8		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
9	8	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) )
10		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F ` x ) e. _V
11		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( F ` x ) -> ( w e. z <-> w e. ( F ` x ) ) )
12	10, 11	ceqsexv 3242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ w e. z ) <-> w e. ( F ` x ) )
13	9, 12	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> w e. ( F ` x ) )
14	13	rexbii 3041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. A E. z ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. x e. A w e. ( F ` x ) )
15		r19.42v 3092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
16	15	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z E. x e. A ( w e. z /\ z = ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
17	7, 14, 16	3bitr3ri 291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) <-> E. x e. A w e. ( F ` x ) )
18		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. A w e. ( F ` x ) <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) )
19	17, 18	bitr2i 265	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) ) )
21		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
22		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( y e. ( F ` x ) <-> w e. ( F ` x ) ) )
23	22	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) ) )
24	23	exbidv 1850	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) ) )
25	21, 24	elab 3350	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } <-> E. x ( x e. A /\ w e. ( F ` x ) ) )
26		eluniab 4447	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } <-> E. z ( w e. z /\ E. x e. A z = ( F ` x ) ) )
27	20, 25, 26	3bitr4g 303	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( w e. { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } <-> w e. U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } ) )
28	27	eqrdv 2620	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } = U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
29	28	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
30	29	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
31		fpwrelmapffslem.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> ~P B )
32		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> ~P B -> F Fn A )
33		fnrnfv 6242	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
34	31, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ran F = { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } )
36		0ex 4790	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. _V
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> (/) e. _V )
38		fpwrelmapffslem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. _V
39		fex 6490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> ~P B /\ A e. _V ) -> F e. _V )
40	31, 38, 39	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. _V )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> F e. _V )
42		ffun 6048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> ~P B -> Fun F )
43	31, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Fun F )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> Fun F )
45		opabdm 29423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> dom R = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
46	1, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom R = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
47	38, 39	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : A --> ~P B -> F e. _V )
48		suppimacnv 7306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. _V /\ (/) e. _V ) -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
49	36, 48	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. _V -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
50	31, 47, 49	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) )
51	31	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
52	51	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> `' F = `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
53	52	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { (/) } ) ) = ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) )
54	50, 53	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) )
55		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. A |-> ( F ` x ) ) = ( x e. A |-> ( F ` x ) )
56	55	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' ( x e. A |-> ( F ` x ) ) " ( _V \ { (/) } ) ) = { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) }
57	54, 56	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) } )
58		suppvalfn 7302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F Fn A /\ A e. _V /\ (/) e. _V ) -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
59	38, 36, 58	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F Fn A -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
60	31, 32, 59	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } )
61		n0 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` x ) =/= (/) <-> E. y y e. ( F ` x ) )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. A -> ( ( F ` x ) =/= (/) <-> E. y y e. ( F ` x ) ) )
63	62	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) }
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> { x e. A | ( F ` x ) =/= (/) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } )
65	60, 57, 64	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { x e. A | ( F ` x ) e. ( _V \ { (/) } ) } = { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } )
66		df-rab 2921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) }
67		19.42v 1918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) <-> ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) )
68	67	abbii 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y e. ( F ` x ) ) }
69	66, 68	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { x e. A | E. y y e. ( F ` x ) } = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
71	57, 65, 70	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F supp (/) ) = { x | E. y ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
72	46, 71	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom R = ( F supp (/) ) )
73	72	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( dom R e. Fin <-> ( F supp (/) ) e. Fin ) )
74	73	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( F supp (/) ) e. Fin )
75	37, 41, 44, 74	ffsrn 29504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ran F e. Fin )
76	35, 75	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin )
77		unifi 8255	. . . . . . . . 9 |- ( ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin /\ { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin )
78	77	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
79	76, 78	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin -> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
80		unifi3 29490	. . . . . . 7 |- ( U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin -> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin )
81	79, 80	impbid1 215	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin <-> U. { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } e. Fin ) )
82	30, 81	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin <-> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) )
83		opabrn 29424	. . . . . . . 8 |- ( R = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } -> ran R = { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
84	1, 83	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran R = { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
85	84	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ran R e. Fin <-> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin ) )
86	85	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran R e. Fin <-> { y | E. x ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } e. Fin ) )
87	35	sseq1d 3632	. . . . 5 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran F C_ Fin <-> { z | E. x e. A z = ( F ` x ) } C_ Fin ) )
88	82, 86, 87	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( ( ph /\ dom R e. Fin ) -> ( ran R e. Fin <-> ran F C_ Fin ) )
89	88	pm5.32da 673	. . 3 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) <-> ( dom R e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
90	73	anbi1d 741	. . 3 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
91	89, 90	bitrd 268	. 2 |- ( ph -> ( ( dom R e. Fin /\ ran R e. Fin ) <-> ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) ) )
92		ancom 466	. . 3 |- ( ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) )
93	92	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( ( ( F supp (/) ) e. Fin /\ ran F C_ Fin ) <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )
94	6, 91, 93	3bitrd 294	1 |- ( ph -> ( R e. Fin <-> ( ran F C_ Fin /\ ( F supp (/) ) e. Fin ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   {copab 4712   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  29509