Theorem fullsubc 16510

Description: The full subcategory generated by a subset of objects is the category with these objects and the same morphisms as the original. The result is always a subcategory (and it is full, meaning that all morphisms of the original category between objects in the subcategory is also in the subcategory), see definition 4.1(2) of [Adamek] p. 48. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fullsubc.b	|- B = ( Base ` C )
fullsubc.h	|- H = ( Hom f ` C )
fullsubc.c	|- ( ph -> C e. Cat )
fullsubc.s	|- ( ph -> S C_ B )

Assertion

Ref	Expression
fullsubc	|- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) )

Proof of Theorem fullsubc

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fullsubc.h	. . . . 5 |- H = ( Hom f ` C )
2		fullsubc.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` C )
3	1, 2	homffn 16353	. . . 4 |- H Fn ( B X. B )
4		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` C ) e. _V
5	2, 4	eqeltri 2697	. . . 4 |- B e. _V
6		sscres 16483	. . . 4 |- ( ( H Fn ( B X. B ) /\ B e. _V ) -> ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H )
7	3, 5, 6	mp2an 708	. . 3 |- ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H
8	7	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H )
9		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
10		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
11		fullsubc.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. Cat )
12	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> C e. Cat )
13		fullsubc.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ B )
14	13	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. B )
15	2, 9, 10, 12, 14	catidcl 16343	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( Hom ` C ) x ) )
16		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. S )
17	16, 16	ovresd 6801	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) = ( x H x ) )
18	1, 2, 9, 14, 14	homfval 16352	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x H x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) )
19	17, 18	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) )
20	15, 19	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
22	12	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> C e. Cat )
23	14	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. B )
24	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> S C_ B )
25	24	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> y e. B )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> y e. B )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> y e. B )
28	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> S C_ B )
29	28	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> z e. B )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. B )
31		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) )
32		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` C ) z ) )
33	2, 9, 21, 22, 23, 27, 30, 31, 32	catcocl 16346	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) )
34	16	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. S )
35		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. S )
36	34, 35	ovresd 6801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( x H z ) )
37	1, 2, 9, 23, 30	homfval 16352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x H z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) )
38	36, 37	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) )
39	33, 38	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
40	39	ralrimivva 2971	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
41		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> x e. S )
42		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> y e. S )
43	41, 42	ovresd 6801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x H y ) )
44	14	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> x e. B )
45	1, 2, 9, 44, 25	homfval 16352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x H y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
46	43, 45	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
48		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> y e. S )
49		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> z e. S )
50	48, 49	ovresd 6801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( y H z ) )
51	1, 2, 9, 26, 29	homfval 16352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y H z ) = ( y ( Hom ` C ) z ) )
52	50, 51	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( y ( Hom ` C ) z ) )
53	52	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) <-> A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
54	47, 53	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) <-> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
55	40, 54	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
56	55	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
57	56	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
58	20, 57	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
59	58	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. x e. S ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
60		xpss12 5225	. . . . 5 |- ( ( S C_ B /\ S C_ B ) -> ( S X. S ) C_ ( B X. B ) )
61	13, 13, 60	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( S X. S ) C_ ( B X. B ) )
62		fnssres 6004	. . . 4 |- ( ( H Fn ( B X. B ) /\ ( S X. S ) C_ ( B X. B ) ) -> ( H |` ( S X. S ) ) Fn ( S X. S ) )
63	3, 61, 62	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) Fn ( S X. S ) )
64	1, 10, 21, 11, 63	issubc2 16496	. 2 |- ( ph -> ( ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) <-> ( ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H /\ A. x e. S ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) ) ) )
65	8, 59, 64	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326   Hom _f chomf 16327   C__cat cssc 16467  Subcatcsubc 16469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-cat 16329  df-cid 16330  df-homf 16331  df-ssc 16470  df-subc 16472

This theorem is referenced by:  resscat  16512  funcres2c  16561  ressffth  16598  funcsetcres2  16743