Theorem issubc3 16509

Description: Alternate definition of a subcategory, as a subset of the category which is itself a category. The assumption that the identity be closed is necessary just as in the case of a monoid, issubm2 17348, for the same reasons, since categories are a generalization of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubc3.h	|- H = ( Hom f ` C )
issubc3.i	|- .1. = ( Id ` C )
issubc3.1	|- D = ( C |`cat J )
issubc3.c	|- ( ph -> C e. Cat )
issubc3.a	|- ( ph -> J Fn ( S X. S ) )

Assertion

Ref	Expression
issubc3	|- ( ph -> ( J e. (Subcat ` C ) <-> ( J C_cat H /\ A. x e. S ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ D e. Cat ) ) )

Distinct variable groups:   x, C   x, D   x, H   ph, x   x, J   x, S

Allowed substitution hint:   .1. ( x)

Proof of Theorem issubc3

Dummy variables f g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. (Subcat ` C ) ) -> J e. (Subcat ` C ) )
2		issubc3.h	. . . 4 |- H = ( Hom f ` C )
3	1, 2	subcssc 16500	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. (Subcat ` C ) ) -> J C_cat H )
4	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. (Subcat ` C ) ) /\ x e. S ) -> J e. (Subcat ` C ) )
5		issubc3.a	. . . . . 6 |- ( ph -> J Fn ( S X. S ) )
6	5	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. (Subcat ` C ) ) /\ x e. S ) -> J Fn ( S X. S ) )
7		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. (Subcat ` C ) ) /\ x e. S ) -> x e. S )
8		issubc3.i	. . . . 5 |- .1. = ( Id ` C )
9	4, 6, 7, 8	subcidcl 16504	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ J e. (Subcat ` C ) ) /\ x e. S ) -> ( .1. ` x ) e. ( x J x ) )
10	9	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. (Subcat ` C ) ) -> A. x e. S ( .1. ` x ) e. ( x J x ) )
11		issubc3.1	. . . 4 |- D = ( C |`cat J )
12	11, 1	subccat 16508	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. (Subcat ` C ) ) -> D e. Cat )
13	3, 10, 12	3jca 1242	. 2 |- ( ( ph /\ J e. (Subcat ` C ) ) -> ( J C_cat H /\ A. x e. S ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ D e. Cat ) )
14		simpr1 1067	. . 3 |- ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ A. x e. S ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ D e. Cat ) ) -> J C_cat H )
15		simpr2 1068	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ A. x e. S ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ D e. Cat ) ) -> A. x e. S ( .1. ` x ) e. ( x J x ) )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Hom ` D ) = ( Hom ` D )
18		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (comp ` D ) = (comp ` D )
19		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> D e. Cat )
20		simprl1 1106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> x e. S )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
22		issubc3.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. Cat )
23	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> C e. Cat )
24	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> J Fn ( S X. S ) )
25	2, 21	homffn 16353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- H Fn ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) )
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> H Fn ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) )
27		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> J C_cat H )
28	24, 26, 27	ssc1 16481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> S C_ ( Base ` C ) )
29	11, 21, 23, 24, 28	rescbas 16489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> S = ( Base ` D ) )
30	20, 29	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> x e. ( Base ` D ) )
31		simprl2 1107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> y e. S )
32	31, 29	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> y e. ( Base ` D ) )
33		simprl3 1108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> z e. S )
34	33, 29	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> z e. ( Base ` D ) )
35		simprrl 804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> f e. ( x J y ) )
36	11, 21, 23, 24, 28	reschom 16490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> J = ( Hom ` D ) )
37	36	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> ( x J y ) = ( x ( Hom ` D ) y ) )
38	35, 37	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` D ) y ) )
39		simprrr 805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> g e. ( y J z ) )
40	36	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> ( y J z ) = ( y ( Hom ` D ) z ) )
41	39, 40	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` D ) z ) )
42	16, 17, 18, 19, 30, 32, 34, 38, 41	catcocl 16346	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` D ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` D ) z ) )
43		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
44	11, 21, 23, 24, 28, 43	rescco 16492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> (comp ` C ) = (comp ` D ) )
45	44	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) = ( <. x , y >. (comp ` D ) z ) )
46	45	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) = ( g ( <. x , y >. (comp ` D ) z ) f ) )
47	36	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> ( x J z ) = ( x ( Hom ` D ) z ) )
48	42, 46, 47	3eltr4d 2716	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x J z ) )
49	48	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) /\ ( f e. ( x J y ) /\ g e. ( y J z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x J z ) )
50	49	ralrimivva 2971	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x J z ) )
51	50	ralrimivvva 2972	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ D e. Cat ) ) -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x J z ) )
52	51	3adantr2 1221	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ A. x e. S ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ D e. Cat ) ) -> A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x J z ) )
53		r19.26 3064	. . . 4 |- ( A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x J z ) ) <-> ( A. x e. S ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. x e. S A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x J z ) ) )
54	15, 52, 53	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ A. x e. S ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ D e. Cat ) ) -> A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x J z ) ) )
55	22	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ A. x e. S ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ D e. Cat ) ) -> C e. Cat )
56	5	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ A. x e. S ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ D e. Cat ) ) -> J Fn ( S X. S ) )
57	2, 8, 43, 55, 56	issubc2 16496	. . 3 |- ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ A. x e. S ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ D e. Cat ) ) -> ( J e. (Subcat ` C ) <-> ( J C_cat H /\ A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x J z ) ) ) ) )
58	14, 54, 57	mpbir2and 957	. 2 |- ( ( ph /\ ( J C_cat H /\ A. x e. S ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ D e. Cat ) ) -> J e. (Subcat ` C ) )
59	13, 58	impbida 877	1 |- ( ph -> ( J e. (Subcat ` C ) <-> ( J C_cat H /\ A. x e. S ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ D e. Cat ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326   Hom <sub>f</sub> chomf 16327   C_<sub>cat</sub> cssc 16467   |`_cat cresc 16468  Subcatcsubc 16469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-homf 16331  df-ssc 16470  df-resc 16471  df-subc 16472

This theorem is referenced by:  subsubc  16513