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Theorem ghmf1o 17690
Description: A bijective group homomorphism is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf1o.x |- X = ( Base ` S )
ghmf1o.y |- Y = ( Base ` T )
Assertion
Ref Expression
ghmf1o |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y <-> `' F e. ( T GrpHom S ) ) )
Proof of Theorem ghmf1o
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmgrp2 17663 . . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> T e. Grp )
2 ghmgrp1 17662 . . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )
31, 2jca 554 . . . 4 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( T e. Grp /\ S e. Grp ) )
43adantr 481 . . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( T e. Grp /\ S e. Grp ) )
5 f1ocnv 6149 . . . . . 6 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
65adantl 482 . . . . 5 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
7 f1of 6137 . . . . 5 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
86, 7syl 17 . . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> `' F : Y --> X )
9 simpll 790 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
108adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> `' F : Y --> X )
11 simprl 794 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> x e. Y )
1210, 11ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( `' F ` x ) e. X )
13 simprr 796 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> y e. Y )
1410, 13ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( `' F ` y ) e. X )
15 ghmf1o.x . . . . . . . . 9 |- X = ( Base ` S )
16 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
17 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
1815, 16, 17ghmlin 17665 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ ( `' F ` x ) e. X /\ ( `' F ` y ) e. X ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` T ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
199, 12, 14, 18syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` T ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
20 simplr 792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
21 f1ocnvfv2 6533 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ x e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
2220, 11, 21syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
23 f1ocnvfv2 6533 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ y e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
2420, 13, 23syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
2522, 24oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` T ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) )
2619, 25eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) )
279, 2syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> S e. Grp )
2815, 16grpcl 17430 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ ( `' F ` x ) e. X /\ ( `' F ` y ) e. X ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) e. X )
2927, 12, 14, 28syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) e. X )
30 f1ocnvfv 6534 . . . . . . 7 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) e. X ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) )
3120, 29, 30syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` T ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) )
3226, 31mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) )
3332ralrimivva 2971 . . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> A. x e. Y A. y e. Y ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) )
348, 33jca 554 . . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. Y A. y e. Y ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) )
35 ghmf1o.y . . . 4 |- Y = ( Base ` T )
3635, 15, 17, 16isghm 17660 . . 3 |- ( `' F e. ( T GrpHom S ) <-> ( ( T e. Grp /\ S e. Grp ) /\ ( `' F : Y --> X /\ A. x e. Y A. y e. Y ( `' F ` ( x ( +g ` T ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` S ) ( `' F ` y ) ) ) ) )
374, 34, 36sylanbrc 698 . 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> `' F e. ( T GrpHom S ) )
3815, 35ghmf 17664 . . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )
3938adantr 481 . . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> F : X --> Y )
40 ffn 6045 . . . 4 |- ( F : X --> Y -> F Fn X )
4139, 40syl 17 . . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> F Fn X )
4235, 15ghmf 17664 . . . . 5 |- ( `' F e. ( T GrpHom S ) -> `' F : Y --> X )
4342adantl 482 . . . 4 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> `' F : Y --> X )
44 ffn 6045 . . . 4 |- ( `' F : Y --> X -> `' F Fn Y )
4543, 44syl 17 . . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> `' F Fn Y )
46 dff1o4 6145 . . 3 |- ( F : X -1-1-onto-> Y <-> ( F Fn X /\ `' F Fn Y ) )
4741, 45, 46sylanbrc 698 . 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ `' F e. ( T GrpHom S ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
4837, 47impbida 877 1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y <-> `' F e. ( T GrpHom S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   `'ccnv 5113   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ghm 17658
This theorem is referenced by:  isgim2  17707  rhmf1o  18732  lmhmf1o  19046  rnghmf1o  41903
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