Theorem ghmf 17664

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	|- X = ( Base ` S )
ghmf.y	|- Y = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
ghmf	|- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 |- X = ( Base ` S )
2		ghmf.y	. . . 4 |- Y = ( Base ` T )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
5	1, 2, 3, 4	isghm 17660	. . 3 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. X A. x e. X ( F ` ( y ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` y ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ) ) )
6	5	simprbi 480	. 2 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. X A. x e. X ( F ` ( y ( +g ` S ) x ) ) = ( ( F ` y ) ( +g ` T ) ( F ` x ) ) ) )
7	6	simpld 475	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-ghm 17658

This theorem is referenced by:  ghmid  17666  ghminv  17667  ghmsub  17668  ghmmhm  17670  ghmmulg  17672  ghmrn  17673  resghm  17676  ghmpreima  17682  ghmeql  17683  ghmnsgima  17684  ghmnsgpreima  17685  ghmeqker  17687  ghmf1  17689  ghmf1o  17690  gimcnv  17709  lactghmga  17824  frgpup3lem  18190  frgpup3  18191  ghmplusg  18249  rhmf  18726  isrhm2d  18728  lmhmf  19034  lmhmpropd  19073  evlslem2  19512  frgpcyg  19922  psgninv  19928  zrhpsgninv  19931  evpmss  19932  psgnevpmb  19933  psgnodpm  19934  zrhpsgnevpm  19937  zrhpsgnodpm  19938  nmoi  22532  nmoix  22533  nmoi2  22534  nmoleub  22535  nmoeq0  22540  nmoco  22541  nmotri  22543  nmods  22548  nghmcn  22549  isrnghmmul  41893  rnghmf  41899