Theorem ghmf1 17689

Description: Two ways of saying a group homomorphism is 1-1 into its codomain. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf1.x	|- X = ( Base ` S )
ghmf1.y	|- Y = ( Base ` T )
ghmf1.z	|- .0. = ( 0g ` S )
ghmf1.u	|- U = ( 0g ` T )

Assertion

Ref	Expression
ghmf1	|- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X -1-1-> Y <-> A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, S   x, T   x, U   x, X   x, Y   x, .0.

Proof of Theorem ghmf1

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf1.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` S )
2		ghmf1.u	. . . . . . . 8 |- U = ( 0g ` T )
3	1, 2	ghmid 17666	. . . . . . 7 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F ` .0. ) = U )
4	3	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-> Y ) /\ x e. X ) -> ( F ` .0. ) = U )
5	4	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-> Y ) /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` .0. ) <-> ( F ` x ) = U ) )
6		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-> Y ) /\ x e. X ) -> F : X -1-1-> Y )
7		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-> Y ) /\ x e. X ) -> x e. X )
8		ghmgrp1 17662	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> S e. Grp )
9	8	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-> Y ) /\ x e. X ) -> S e. Grp )
10		ghmf1.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` S )
11	10, 1	grpidcl 17450	. . . . . . 7 |- ( S e. Grp -> .0. e. X )
12	9, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-> Y ) /\ x e. X ) -> .0. e. X )
13		f1fveq 6519	. . . . . 6 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( x e. X /\ .0. e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` .0. ) <-> x = .0. ) )
14	6, 7, 12, 13	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-> Y ) /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` .0. ) <-> x = .0. ) )
15	5, 14	bitr3d 270	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-> Y ) /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) = U <-> x = .0. ) )
16	15	biimpd 219	. . 3 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-> Y ) /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) )
17	16	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ F : X -1-1-> Y ) -> A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) )
18		ghmf1.y	. . . . 5 |- Y = ( Base ` T )
19	10, 18	ghmf 17664	. . . 4 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : X --> Y )
20	19	adantr 481	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) -> F : X --> Y )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( -g ` S ) = ( -g ` S )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( -g ` T ) = ( -g ` T )
23	10, 21, 22	ghmsub 17668	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( F ` ( y ( -g ` S ) z ) ) = ( ( F ` y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
24	23	3expb 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` ( y ( -g ` S ) z ) ) = ( ( F ` y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
25	24	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` ( y ( -g ` S ) z ) ) = ( ( F ` y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) )
26	25	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( F ` ( y ( -g ` S ) z ) ) = U <-> ( ( F ` y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) = U ) )
27	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) -> S e. Grp )
28	10, 21	grpsubcl 17495	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Grp /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` S ) z ) e. X )
29	28	3expb 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Grp /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y ( -g ` S ) z ) e. X )
30	27, 29	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y ( -g ` S ) z ) e. X )
31		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y ( -g ` S ) z ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( y ( -g ` S ) z ) ) )
33	32	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y ( -g ` S ) z ) -> ( ( F ` x ) = U <-> ( F ` ( y ( -g ` S ) z ) ) = U ) )
34		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y ( -g ` S ) z ) -> ( x = .0. <-> ( y ( -g ` S ) z ) = .0. ) )
35	33, 34	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y ( -g ` S ) z ) -> ( ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) <-> ( ( F ` ( y ( -g ` S ) z ) ) = U -> ( y ( -g ` S ) z ) = .0. ) ) )
36	35	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( ( y ( -g ` S ) z ) e. X -> ( A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) -> ( ( F ` ( y ( -g ` S ) z ) ) = U -> ( y ( -g ` S ) z ) = .0. ) ) )
37	30, 31, 36	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( F ` ( y ( -g ` S ) z ) ) = U -> ( y ( -g ` S ) z ) = .0. ) )
38	26, 37	sylbird 250	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( F ` y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) = U -> ( y ( -g ` S ) z ) = .0. ) )
39		ghmgrp2 17663	. . . . . . 7 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> T e. Grp )
40	39	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> T e. Grp )
41	19	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> F : X --> Y )
42		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> y e. X )
43	41, 42	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` y ) e. Y )
44		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> z e. X )
45	41, 44	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` z ) e. Y )
46	18, 2, 22	grpsubeq0 17501	. . . . . 6 |- ( ( T e. Grp /\ ( F ` y ) e. Y /\ ( F ` z ) e. Y ) -> ( ( ( F ` y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) = U <-> ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
47	40, 43, 45, 46	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( F ` y ) ( -g ` T ) ( F ` z ) ) = U <-> ( F ` y ) = ( F ` z ) ) )
48	8	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> S e. Grp )
49	10, 1, 21	grpsubeq0 17501	. . . . . 6 |- ( ( S e. Grp /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( ( y ( -g ` S ) z ) = .0. <-> y = z ) )
50	48, 42, 44, 49	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y ( -g ` S ) z ) = .0. <-> y = z ) )
51	38, 47, 50	3imtr3d 282	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
52	51	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) -> A. y e. X A. z e. X ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
53		dff13 6512	. . 3 |- ( F : X -1-1-> Y <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. X A. z e. X ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) )
54	20, 52, 53	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) -> F : X -1-1-> Y )
55	17, 54	impbida 877	1 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F : X -1-1-> Y <-> A. x e. X ( ( F ` x ) = U -> x = .0. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   GrpHom cghm 17657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-ghm 17658

This theorem is referenced by:  cayleylem2  17833  f1rhm0to0ALT  18741  fidomndrnglem  19306  islindf5  20178  pwssplit4  37659