Theorem conjghm 17691

Description: Conjugation is an automorphism of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
conjghm.x	|- X = ( Base ` G )
conjghm.p	|- .+ = ( +g ` G )
conjghm.m	|- .- = ( -g ` G )
conjghm.f	|- F = ( x e. X |-> ( ( A .+ x ) .- A ) )

Assertion

Ref	Expression
conjghm	|- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( F e. ( G GrpHom G ) /\ F : X -1-1-onto-> X ) )

Distinct variable groups:   x, .-   x, .+   x, A   x, G   x, X

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem conjghm

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		conjghm.x	. . 3 |- X = ( Base ` G )
2		conjghm.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3		simpl 473	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> G e. Grp )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ x e. X ) -> G e. Grp )
5	1, 2	grpcl 17430	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ x e. X ) -> ( A .+ x ) e. X )
6	5	3expa 1265	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ x e. X ) -> ( A .+ x ) e. X )
7		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ x e. X ) -> A e. X )
8		conjghm.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
9	1, 8	grpsubcl 17495	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( A .+ x ) e. X /\ A e. X ) -> ( ( A .+ x ) .- A ) e. X )
10	4, 6, 7, 9	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ x e. X ) -> ( ( A .+ x ) .- A ) e. X )
11		conjghm.f	. . . 4 |- F = ( x e. X |-> ( ( A .+ x ) .- A ) )
12	10, 11	fmptd 6385	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> F : X --> X )
13	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> G e. Grp )
14		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> A e. X )
15		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> y e. X )
16	1, 2	grpcl 17430	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A .+ y ) e. X )
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( A .+ y ) e. X )
18	1, 8	grpsubcl 17495	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( A .+ y ) e. X /\ A e. X ) -> ( ( A .+ y ) .- A ) e. X )
19	13, 17, 14, 18	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ y ) .- A ) e. X )
20		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> z e. X )
21	1, 8	grpsubcl 17495	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X /\ A e. X ) -> ( z .- A ) e. X )
22	13, 20, 14, 21	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z .- A ) e. X )
23	1, 2	grpass 17431	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( A .+ y ) .- A ) e. X /\ A e. X /\ ( z .- A ) e. X ) ) -> ( ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) .+ ( z .- A ) ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( A .+ ( z .- A ) ) ) )
24	13, 19, 14, 22, 23	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) .+ ( z .- A ) ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( A .+ ( z .- A ) ) ) )
25	1, 2, 8	grpnpcan 17507	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( A .+ y ) e. X /\ A e. X ) -> ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) = ( A .+ y ) )
26	13, 17, 14, 25	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) = ( A .+ y ) )
27	26	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) .+ ( z .- A ) ) = ( ( A .+ y ) .+ ( z .- A ) ) )
28	1, 2, 8	grpaddsubass 17505	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( A .+ y ) e. X /\ z e. X /\ A e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .+ z ) .- A ) = ( ( A .+ y ) .+ ( z .- A ) ) )
29	13, 17, 20, 14, 28	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .+ z ) .- A ) = ( ( A .+ y ) .+ ( z .- A ) ) )
30	1, 2	grpass 17431	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( A e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ y ) .+ z ) = ( A .+ ( y .+ z ) ) )
31	13, 14, 15, 20, 30	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ y ) .+ z ) = ( A .+ ( y .+ z ) ) )
32	31	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .+ z ) .- A ) = ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) )
33	27, 29, 32	3eqtr2rd 2663	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) = ( ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ A ) .+ ( z .- A ) ) )
34	1, 2, 8	grpaddsubass 17505	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( A e. X /\ z e. X /\ A e. X ) ) -> ( ( A .+ z ) .- A ) = ( A .+ ( z .- A ) ) )
35	13, 14, 20, 14, 34	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ z ) .- A ) = ( A .+ ( z .- A ) ) )
36	35	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( ( A .+ z ) .- A ) ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( A .+ ( z .- A ) ) ) )
37	24, 33, 36	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( ( A .+ z ) .- A ) ) )
38	1, 2	grpcl 17430	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y .+ z ) e. X )
39	13, 15, 20, 38	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y .+ z ) e. X )
40		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = ( y .+ z ) -> ( A .+ x ) = ( A .+ ( y .+ z ) ) )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( x = ( y .+ z ) -> ( ( A .+ x ) .- A ) = ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) )
42		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) e. _V
43	41, 11, 42	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( ( y .+ z ) e. X -> ( F ` ( y .+ z ) ) = ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) )
44	39, 43	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` ( y .+ z ) ) = ( ( A .+ ( y .+ z ) ) .- A ) )
45		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( A .+ x ) = ( A .+ y ) )
46	45	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( A .+ x ) .- A ) = ( ( A .+ y ) .- A ) )
47		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( A .+ y ) .- A ) e. _V
48	46, 11, 47	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( y e. X -> ( F ` y ) = ( ( A .+ y ) .- A ) )
49	48	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` y ) = ( ( A .+ y ) .- A ) )
50		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( A .+ x ) = ( A .+ z ) )
51	50	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( A .+ x ) .- A ) = ( ( A .+ z ) .- A ) )
52		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( A .+ z ) .- A ) e. _V
53	51, 11, 52	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( z e. X -> ( F ` z ) = ( ( A .+ z ) .- A ) )
54	53	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` z ) = ( ( A .+ z ) .- A ) )
55	49, 54	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( F ` y ) .+ ( F ` z ) ) = ( ( ( A .+ y ) .- A ) .+ ( ( A .+ z ) .- A ) ) )
56	37, 44, 55	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( F ` ( y .+ z ) ) = ( ( F ` y ) .+ ( F ` z ) ) )
57	1, 1, 2, 2, 3, 3, 12, 56	isghmd 17669	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> F e. ( G GrpHom G ) )
58	3	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> G e. Grp )
59		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
60	1, 59	grpinvcl 17467	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
61	60	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
62		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> y e. X )
63		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> A e. X )
64	1, 2	grpcl 17430	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X /\ A e. X ) -> ( y .+ A ) e. X )
65	58, 62, 63, 64	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( y .+ A ) e. X )
66	1, 2	grpcl 17430	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ ( y .+ A ) e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) e. X )
67	58, 61, 65, 66	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) e. X )
68	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> G e. Grp )
69	65	adantrl 752	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( y .+ A ) e. X )
70	6	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( A .+ x ) e. X )
71	60	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` A ) e. X )
72	1, 2	grplcan 17477	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( y .+ A ) e. X /\ ( A .+ x ) e. X /\ ( ( invg ` G ) ` A ) e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) <-> ( y .+ A ) = ( A .+ x ) ) )
73	68, 69, 70, 71, 72	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) <-> ( y .+ A ) = ( A .+ x ) ) )
74		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
75	1, 2, 74, 59	grplinv 17468	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) = ( 0g ` G ) )
76	75	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) = ( 0g ` G ) )
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) .+ x ) = ( ( 0g ` G ) .+ x ) )
78		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> A e. X )
79		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x e. X )
80	1, 2	grpass 17431	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) e. X /\ A e. X /\ x e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) .+ x ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) )
81	68, 71, 78, 79, 80	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ A ) .+ x ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) )
82	1, 2, 74	grplid 17452	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x )
83	82	ad2ant2r 783	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ x ) = x )
84	77, 81, 83	3eqtr3rd 2665	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> x = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) )
85	84	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = x <-> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( A .+ x ) ) ) )
86		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> y e. X )
87	1, 2, 8	grpsubadd 17503	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( A .+ x ) e. X /\ A e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( A .+ x ) .- A ) = y <-> ( y .+ A ) = ( A .+ x ) ) )
88	68, 70, 78, 86, 87	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( A .+ x ) .- A ) = y <-> ( y .+ A ) = ( A .+ x ) ) )
89	73, 85, 88	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = x <-> ( ( A .+ x ) .- A ) = y ) )
90		eqcom 2629	. . . 4 |- ( x = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) <-> ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) = x )
91		eqcom 2629	. . . 4 |- ( y = ( ( A .+ x ) .- A ) <-> ( ( A .+ x ) .- A ) = y )
92	89, 90, 91	3bitr4g 303	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x = ( ( ( invg ` G ) ` A ) .+ ( y .+ A ) ) <-> y = ( ( A .+ x ) .- A ) ) )
93	11, 10, 67, 92	f1o2d 6887	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> F : X -1-1-onto-> X )
94	57, 93	jca 554	1 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( F e. ( G GrpHom G ) /\ F : X -1-1-onto-> X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   |-> cmpt 4729   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424   GrpHom cghm 17657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-ghm 17658

This theorem is referenced by:  conjsubg  17692  conjsubgen  17693