Theorem ghmplusg 18249

Description: The pointwise sum of two linear functions is linear. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ghmplusg.p	|- .+ = ( +g ` N )

Assertion

Ref	Expression
ghmplusg	|- ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) -> ( F oF .+ G ) e. ( M GrpHom N ) )

Proof of Theorem ghmplusg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
2		eqid 2622	. 2 |- ( Base ` N ) = ( Base ` N )
3		eqid 2622	. 2 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
4		ghmplusg.p	. 2 |- .+ = ( +g ` N )
5		ghmgrp1 17662	. . 3 |- ( G e. ( M GrpHom N ) -> M e. Grp )
6	5	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) -> M e. Grp )
7		ghmgrp2 17663	. . 3 |- ( G e. ( M GrpHom N ) -> N e. Grp )
8	7	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) -> N e. Grp )
9	2, 4	grpcl 17430	. . . . 5 |- ( ( N e. Grp /\ x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) -> ( x .+ y ) e. ( Base ` N ) )
10	9	3expb 1266	. . . 4 |- ( ( N e. Grp /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> ( x .+ y ) e. ( Base ` N ) )
11	8, 10	sylan 488	. . 3 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` N ) /\ y e. ( Base ` N ) ) ) -> ( x .+ y ) e. ( Base ` N ) )
12	1, 2	ghmf 17664	. . . 4 |- ( F e. ( M GrpHom N ) -> F : ( Base ` M ) --> ( Base ` N ) )
13	12	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) -> F : ( Base ` M ) --> ( Base ` N ) )
14	1, 2	ghmf 17664	. . . 4 |- ( G e. ( M GrpHom N ) -> G : ( Base ` M ) --> ( Base ` N ) )
15	14	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) -> G : ( Base ` M ) --> ( Base ` N ) )
16		fvexd 6203	. . 3 |- ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) -> ( Base ` M ) e. _V )
17		inidm 3822	. . 3 |- ( ( Base ` M ) i^i ( Base ` M ) ) = ( Base ` M )
18	11, 13, 15, 16, 16, 17	off 6912	. 2 |- ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) -> ( F oF .+ G ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` N ) )
19	1, 3, 4	ghmlin 17665	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( M GrpHom N ) /\ x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` M ) y ) ) = ( ( F ` x ) .+ ( F ` y ) ) )
20	19	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( M GrpHom N ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` M ) y ) ) = ( ( F ` x ) .+ ( F ` y ) ) )
21	20	3ad2antl2 1224	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` M ) y ) ) = ( ( F ` x ) .+ ( F ` y ) ) )
22	1, 3, 4	ghmlin 17665	. . . . . . 7 |- ( ( G e. ( M GrpHom N ) /\ x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` M ) y ) ) = ( ( G ` x ) .+ ( G ` y ) ) )
23	22	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( G e. ( M GrpHom N ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` M ) y ) ) = ( ( G ` x ) .+ ( G ` y ) ) )
24	23	3ad2antl3 1225	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` M ) y ) ) = ( ( G ` x ) .+ ( G ` y ) ) )
25	21, 24	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( F ` ( x ( +g ` M ) y ) ) .+ ( G ` ( x ( +g ` M ) y ) ) ) = ( ( ( F ` x ) .+ ( F ` y ) ) .+ ( ( G ` x ) .+ ( G ` y ) ) ) )
26		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> N e. Abel )
27		ablcmn 18199	. . . . . 6 |- ( N e. Abel -> N e. CMnd )
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> N e. CMnd )
29	13	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` N ) )
30	29	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` N ) )
31	13	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ y e. ( Base ` M ) ) -> ( F ` y ) e. ( Base ` N ) )
32	31	adantrl 752	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( F ` y ) e. ( Base ` N ) )
33	15	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` N ) )
34	33	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` N ) )
35	15	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ y e. ( Base ` M ) ) -> ( G ` y ) e. ( Base ` N ) )
36	35	adantrl 752	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( Base ` N ) )
37	2, 4	cmn4 18212	. . . . 5 |- ( ( N e. CMnd /\ ( ( F ` x ) e. ( Base ` N ) /\ ( F ` y ) e. ( Base ` N ) ) /\ ( ( G ` x ) e. ( Base ` N ) /\ ( G ` y ) e. ( Base ` N ) ) ) -> ( ( ( F ` x ) .+ ( F ` y ) ) .+ ( ( G ` x ) .+ ( G ` y ) ) ) = ( ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) .+ ( ( F ` y ) .+ ( G ` y ) ) ) )
38	28, 30, 32, 34, 36, 37	syl122anc 1335	. . . 4 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( ( F ` x ) .+ ( F ` y ) ) .+ ( ( G ` x ) .+ ( G ` y ) ) ) = ( ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) .+ ( ( F ` y ) .+ ( G ` y ) ) ) )
39	25, 38	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( F ` ( x ( +g ` M ) y ) ) .+ ( G ` ( x ( +g ` M ) y ) ) ) = ( ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) .+ ( ( F ` y ) .+ ( G ` y ) ) ) )
40		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( F : ( Base ` M ) --> ( Base ` N ) -> F Fn ( Base ` M ) )
41	13, 40	syl 17	. . . . 5 |- ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) -> F Fn ( Base ` M ) )
42	41	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> F Fn ( Base ` M ) )
43		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( G : ( Base ` M ) --> ( Base ` N ) -> G Fn ( Base ` M ) )
44	15, 43	syl 17	. . . . 5 |- ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) -> G Fn ( Base ` M ) )
45	44	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> G Fn ( Base ` M ) )
46		fvexd 6203	. . . 4 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( Base ` M ) e. _V )
47	1, 3	grpcl 17430	. . . . . 6 |- ( ( M e. Grp /\ x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) )
48	47	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( M e. Grp /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) )
49	6, 48	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) )
50		fnfvof 6911	. . . 4 |- ( ( ( F Fn ( Base ` M ) /\ G Fn ( Base ` M ) ) /\ ( ( Base ` M ) e. _V /\ ( x ( +g ` M ) y ) e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( F oF .+ G ) ` ( x ( +g ` M ) y ) ) = ( ( F ` ( x ( +g ` M ) y ) ) .+ ( G ` ( x ( +g ` M ) y ) ) ) )
51	42, 45, 46, 49, 50	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( F oF .+ G ) ` ( x ( +g ` M ) y ) ) = ( ( F ` ( x ( +g ` M ) y ) ) .+ ( G ` ( x ( +g ` M ) y ) ) ) )
52		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> x e. ( Base ` M ) )
53		fnfvof 6911	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn ( Base ` M ) /\ G Fn ( Base ` M ) ) /\ ( ( Base ` M ) e. _V /\ x e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( F oF .+ G ) ` x ) = ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) )
54	42, 45, 46, 52, 53	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( F oF .+ G ) ` x ) = ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) )
55		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> y e. ( Base ` M ) )
56		fnfvof 6911	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn ( Base ` M ) /\ G Fn ( Base ` M ) ) /\ ( ( Base ` M ) e. _V /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( F oF .+ G ) ` y ) = ( ( F ` y ) .+ ( G ` y ) ) )
57	42, 45, 46, 55, 56	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( F oF .+ G ) ` y ) = ( ( F ` y ) .+ ( G ` y ) ) )
58	54, 57	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( ( F oF .+ G ) ` x ) .+ ( ( F oF .+ G ) ` y ) ) = ( ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) .+ ( ( F ` y ) .+ ( G ` y ) ) ) )
59	39, 51, 58	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) /\ ( x e. ( Base ` M ) /\ y e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( F oF .+ G ) ` ( x ( +g ` M ) y ) ) = ( ( ( F oF .+ G ) ` x ) .+ ( ( F oF .+ G ) ` y ) ) )
60	1, 2, 3, 4, 6, 8, 18, 59	isghmd 17669	1 |- ( ( N e. Abel /\ F e. ( M GrpHom N ) /\ G e. ( M GrpHom N ) ) -> ( F oF .+ G ) e. ( M GrpHom N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657  CMndccmn 18193   Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196

This theorem is referenced by:  lmhmplusg  19044  nmotri  22543  nghmplusg  22544