Theorem nmotri 22543

Description: Triangle inequality for the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmotri.1	|- N = ( S normOp T )
nmotri.p	|- .+ = ( +g ` T )

Assertion

Ref	Expression
nmotri	|- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( N ` ( F oF .+ G ) ) <_ ( ( N ` F ) + ( N ` G ) ) )

Proof of Theorem nmotri

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmotri.1	. 2 |- N = ( S normOp T )
2		eqid 2622	. 2 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3		eqid 2622	. 2 |- ( norm ` S ) = ( norm ` S )
4		eqid 2622	. 2 |- ( norm ` T ) = ( norm ` T )
5		eqid 2622	. 2 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
6		nghmrcl1 22536	. . 3 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> S e. NrmGrp )
7	6	3ad2ant2 1083	. 2 |- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> S e. NrmGrp )
8		nghmrcl2 22537	. . 3 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> T e. NrmGrp )
9	8	3ad2ant2 1083	. 2 |- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> T e. NrmGrp )
10		id 22	. . 3 |- ( T e. Abel -> T e. Abel )
11		nghmghm 22538	. . 3 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
12		nghmghm 22538	. . 3 |- ( G e. ( S NGHom T ) -> G e. ( S GrpHom T ) )
13		nmotri.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` T )
14	13	ghmplusg 18249	. . 3 |- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S GrpHom T ) /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> ( F oF .+ G ) e. ( S GrpHom T ) )
15	10, 11, 12, 14	syl3an 1368	. 2 |- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( F oF .+ G ) e. ( S GrpHom T ) )
16	1	nghmcl 22531	. . . 4 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> ( N ` F ) e. RR )
17	16	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( N ` F ) e. RR )
18	1	nghmcl 22531	. . . 4 |- ( G e. ( S NGHom T ) -> ( N ` G ) e. RR )
19	18	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( N ` G ) e. RR )
20	17, 19	readdcld 10069	. 2 |- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( ( N ` F ) + ( N ` G ) ) e. RR )
21	11	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
22	1	nmoge0 22525	. . . 4 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> 0 <_ ( N ` F ) )
23	7, 9, 21, 22	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> 0 <_ ( N ` F ) )
24	12	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> G e. ( S GrpHom T ) )
25	1	nmoge0 22525	. . . 4 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> 0 <_ ( N ` G ) )
26	7, 9, 24, 25	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> 0 <_ ( N ` G ) )
27	17, 19, 23, 26	addge0d 10603	. 2 |- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> 0 <_ ( ( N ` F ) + ( N ` G ) ) )
28	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> T e. NrmGrp )
29		ngpgrp 22403	. . . . . . 7 |- ( T e. NrmGrp -> T e. Grp )
30	28, 29	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> T e. Grp )
31	21	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
32		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
33	2, 32	ghmf 17664	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
34	31, 33	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
35		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
36	34, 35	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` T ) )
37	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> G e. ( S GrpHom T ) )
38	2, 32	ghmf 17664	. . . . . . . 8 |- ( G e. ( S GrpHom T ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
40	39, 35	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` T ) )
41	32, 13	grpcl 17430	. . . . . 6 |- ( ( T e. Grp /\ ( F ` x ) e. ( Base ` T ) /\ ( G ` x ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) e. ( Base ` T ) )
42	30, 36, 40, 41	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) e. ( Base ` T ) )
43	32, 4	nmcl 22420	. . . . 5 |- ( ( T e. NrmGrp /\ ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) ) e. RR )
44	28, 42, 43	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) ) e. RR )
45	32, 4	nmcl 22420	. . . . . 6 |- ( ( T e. NrmGrp /\ ( F ` x ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
46	28, 36, 45	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` x ) ) e. RR )
47	32, 4	nmcl 22420	. . . . . 6 |- ( ( T e. NrmGrp /\ ( G ` x ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) e. RR )
48	28, 40, 47	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) e. RR )
49	46, 48	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` x ) ) + ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) ) e. RR )
50	17	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( N ` F ) e. RR )
51		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
52	2, 3	nmcl 22420	. . . . . . 7 |- ( ( S e. NrmGrp /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` S ) ` x ) e. RR )
53	7, 51, 52	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` S ) ` x ) e. RR )
54	50, 53	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( N ` F ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) e. RR )
55	19	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( N ` G ) e. RR )
56	55, 53	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( N ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) e. RR )
57	54, 56	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( ( N ` F ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) + ( ( N ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) ) e. RR )
58	32, 4, 13	nmtri 22430	. . . . 5 |- ( ( T e. NrmGrp /\ ( F ` x ) e. ( Base ` T ) /\ ( G ` x ) e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` x ) ) + ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) ) )
59	28, 36, 40, 58	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` x ) ) + ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) ) )
60		simpl2 1065	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> F e. ( S NGHom T ) )
61	1, 2, 3, 4	nmoi 22532	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` x ) ) <_ ( ( N ` F ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) )
62	60, 35, 61	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( F ` x ) ) <_ ( ( N ` F ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) )
63		simpl3 1066	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> G e. ( S NGHom T ) )
64	1, 2, 3, 4	nmoi 22532	. . . . . 6 |- ( ( G e. ( S NGHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) <_ ( ( N ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) )
65	63, 35, 64	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) <_ ( ( N ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) )
66	46, 48, 54, 56, 62, 65	le2addd 10646	. . . 4 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` ( F ` x ) ) + ( ( norm ` T ) ` ( G ` x ) ) ) <_ ( ( ( N ` F ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) + ( ( N ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) ) )
67	44, 49, 57, 59, 66	letrd 10194	. . 3 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) ) <_ ( ( ( N ` F ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) + ( ( N ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) ) )
68		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) -> F Fn ( Base ` S ) )
69	34, 68	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> F Fn ( Base ` S ) )
70		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) -> G Fn ( Base ` S ) )
71	39, 70	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> G Fn ( Base ` S ) )
72		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( Base ` S ) e. _V )
73		fnfvof 6911	. . . . 5 |- ( ( ( F Fn ( Base ` S ) /\ G Fn ( Base ` S ) ) /\ ( ( Base ` S ) e. _V /\ x e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F oF .+ G ) ` x ) = ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) )
74	69, 71, 72, 35, 73	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( F oF .+ G ) ` x ) = ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) )
75	74	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( ( F oF .+ G ) ` x ) ) = ( ( norm ` T ) ` ( ( F ` x ) .+ ( G ` x ) ) ) )
76	50	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( N ` F ) e. CC )
77	55	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( N ` G ) e. CC )
78	53	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` S ) ` x ) e. CC )
79	76, 77, 78	adddird 10065	. . 3 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( ( N ` F ) + ( N ` G ) ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) = ( ( ( N ` F ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) + ( ( N ` G ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) ) )
80	67, 75, 79	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ x =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( ( F oF .+ G ) ` x ) ) <_ ( ( ( N ` F ) + ( N ` G ) ) x. ( ( norm ` S ) ` x ) ) )
81	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 15, 20, 27, 80	nmolb2d 22522	1 |- ( ( T e. Abel /\ F e. ( S NGHom T ) /\ G e. ( S NGHom T ) ) -> ( N ` ( F oF .+ G ) ) <_ ( ( N ` F ) + ( N ` G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657   Abelcabl 18194   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   normOpcnmo 22509   NGHom cnghm 22510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nmo 22512  df-nghm 22513

This theorem is referenced by:  nghmplusg  22544