Theorem glbconxN 34664

Description: De Morgan's law for GLB and LUB. Index-set version of glbconN 34663, where we read S as S ( i ). (Contributed by NM, 17-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
glbcon.b	|- B = ( Base ` K )
glbcon.u	|- U = ( lub ` K )
glbcon.g	|- G = ( glb ` K )
glbcon.o	|- ._|_ = ( oc ` K )

Assertion

Ref	Expression
glbconxN	|- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) -> ( G ` { x | E. i e. I x = S } ) = ( ._|_ ` ( U ` { x | E. i e. I x = ( ._|_ ` S ) } ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, ._|_   x, S   B, i   x, I   i, K   ._|_ , i, x

Allowed substitution hints:   S( i)   U( x, i)   G( x, i)   I( i)   K( x)

Proof of Theorem glbconxN

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . 6 |- y e. _V
2		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x = S <-> y = S ) )
3	2	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( E. i e. I x = S <-> E. i e. I y = S ) )
4	1, 3	elab 3350	. . . . 5 |- ( y e. { x | E. i e. I x = S } <-> E. i e. I y = S )
5		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ i A. i e. I S e. B
6		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ i y e. B
7		rsp 2929	. . . . . . 7 |- ( A. i e. I S e. B -> ( i e. I -> S e. B ) )
8		eleq1a 2696	. . . . . . 7 |- ( S e. B -> ( y = S -> y e. B ) )
9	7, 8	syl6 35	. . . . . 6 |- ( A. i e. I S e. B -> ( i e. I -> ( y = S -> y e. B ) ) )
10	5, 6, 9	rexlimd 3026	. . . . 5 |- ( A. i e. I S e. B -> ( E. i e. I y = S -> y e. B ) )
11	4, 10	syl5bi 232	. . . 4 |- ( A. i e. I S e. B -> ( y e. { x | E. i e. I x = S } -> y e. B ) )
12	11	ssrdv 3609	. . 3 |- ( A. i e. I S e. B -> { x | E. i e. I x = S } C_ B )
13		glbcon.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
14		glbcon.u	. . . 4 |- U = ( lub ` K )
15		glbcon.g	. . . 4 |- G = ( glb ` K )
16		glbcon.o	. . . 4 |- ._|_ = ( oc ` K )
17	13, 14, 15, 16	glbconN 34663	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ { x | E. i e. I x = S } C_ B ) -> ( G ` { x | E. i e. I x = S } ) = ( ._|_ ` ( U ` { y e. B | ( ._|_ ` y ) e. { x | E. i e. I x = S } } ) ) )
18	12, 17	sylan2 491	. 2 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) -> ( G ` { x | E. i e. I x = S } ) = ( ._|_ ` ( U ` { y e. B | ( ._|_ ` y ) e. { x | E. i e. I x = S } } ) ) )
19		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( ._|_ ` y ) e. _V
20		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ._|_ ` y ) -> ( x = S <-> ( ._|_ ` y ) = S ) )
21	20	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ._|_ ` y ) -> ( E. i e. I x = S <-> E. i e. I ( ._|_ ` y ) = S ) )
22	19, 21	elab 3350	. . . . . . . 8 |- ( ( ._|_ ` y ) e. { x | E. i e. I x = S } <-> E. i e. I ( ._|_ ` y ) = S )
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> ( ( ._|_ ` y ) e. { x | E. i e. I x = S } <-> E. i e. I ( ._|_ ` y ) = S ) )
24	23	rabbiia 3185	. . . . . 6 |- { y e. B | ( ._|_ ` y ) e. { x | E. i e. I x = S } } = { y e. B | E. i e. I ( ._|_ ` y ) = S }
25		df-rab 2921	. . . . . 6 |- { y e. B | E. i e. I ( ._|_ ` y ) = S } = { y | ( y e. B /\ E. i e. I ( ._|_ ` y ) = S ) }
26	24, 25	eqtri 2644	. . . . 5 |- { y e. B | ( ._|_ ` y ) e. { x | E. i e. I x = S } } = { y | ( y e. B /\ E. i e. I ( ._|_ ` y ) = S ) }
27		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ i K e. HL
28	27, 5	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B )
29		rspa 2930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. i e. I S e. B /\ i e. I ) -> S e. B )
30		hlop 34649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. HL -> K e. OP )
31	13, 16	opoccl 34481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. OP /\ S e. B ) -> ( ._|_ ` S ) e. B )
32	30, 31	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. HL /\ S e. B ) -> ( ._|_ ` S ) e. B )
33		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ._|_ ` S ) e. B -> ( y = ( ._|_ ` S ) -> y e. B ) )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ S e. B ) -> ( y = ( ._|_ ` S ) -> y e. B ) )
35	34	pm4.71rd 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ S e. B ) -> ( y = ( ._|_ ` S ) <-> ( y e. B /\ y = ( ._|_ ` S ) ) ) )
36		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S = ( ._|_ ` y ) <-> ( ._|_ ` y ) = S )
37	13, 16	opcon2b 34484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. OP /\ S e. B /\ y e. B ) -> ( S = ( ._|_ ` y ) <-> y = ( ._|_ ` S ) ) )
38	30, 37	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. HL /\ S e. B /\ y e. B ) -> ( S = ( ._|_ ` y ) <-> y = ( ._|_ ` S ) ) )
39	38	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ S e. B ) /\ y e. B ) -> ( S = ( ._|_ ` y ) <-> y = ( ._|_ ` S ) ) )
40	36, 39	syl5rbbr 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ S e. B ) /\ y e. B ) -> ( y = ( ._|_ ` S ) <-> ( ._|_ ` y ) = S ) )
41	40	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ S e. B ) -> ( ( y e. B /\ y = ( ._|_ ` S ) ) <-> ( y e. B /\ ( ._|_ ` y ) = S ) ) )
42	35, 41	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ S e. B ) -> ( y = ( ._|_ ` S ) <-> ( y e. B /\ ( ._|_ ` y ) = S ) ) )
43	29, 42	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( A. i e. I S e. B /\ i e. I ) ) -> ( y = ( ._|_ ` S ) <-> ( y e. B /\ ( ._|_ ` y ) = S ) ) )
44	43	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) /\ i e. I ) -> ( y = ( ._|_ ` S ) <-> ( y e. B /\ ( ._|_ ` y ) = S ) ) )
45	28, 44	rexbida 3047	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) -> ( E. i e. I y = ( ._|_ ` S ) <-> E. i e. I ( y e. B /\ ( ._|_ ` y ) = S ) ) )
46		r19.42v 3092	. . . . . . . 8 |- ( E. i e. I ( y e. B /\ ( ._|_ ` y ) = S ) <-> ( y e. B /\ E. i e. I ( ._|_ ` y ) = S ) )
47	45, 46	syl6rbb 277	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) -> ( ( y e. B /\ E. i e. I ( ._|_ ` y ) = S ) <-> E. i e. I y = ( ._|_ ` S ) ) )
48	47	abbidv 2741	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) -> { y | ( y e. B /\ E. i e. I ( ._|_ ` y ) = S ) } = { y | E. i e. I y = ( ._|_ ` S ) } )
49		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( y = ( ._|_ ` S ) <-> x = ( ._|_ ` S ) ) )
50	49	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( E. i e. I y = ( ._|_ ` S ) <-> E. i e. I x = ( ._|_ ` S ) ) )
51	50	cbvabv 2747	. . . . . 6 |- { y | E. i e. I y = ( ._|_ ` S ) } = { x | E. i e. I x = ( ._|_ ` S ) }
52	48, 51	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) -> { y | ( y e. B /\ E. i e. I ( ._|_ ` y ) = S ) } = { x | E. i e. I x = ( ._|_ ` S ) } )
53	26, 52	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) -> { y e. B | ( ._|_ ` y ) e. { x | E. i e. I x = S } } = { x | E. i e. I x = ( ._|_ ` S ) } )
54	53	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) -> ( U ` { y e. B | ( ._|_ ` y ) e. { x | E. i e. I x = S } } ) = ( U ` { x | E. i e. I x = ( ._|_ ` S ) } ) )
55	54	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) -> ( ._|_ ` ( U ` { y e. B | ( ._|_ ` y ) e. { x | E. i e. I x = S } } ) ) = ( ._|_ ` ( U ` { x | E. i e. I x = ( ._|_ ` S ) } ) ) )
56	18, 55	eqtrd 2656	1 |- ( ( K e. HL /\ A. i e. I S e. B ) -> ( G ` { x | E. i e. I x = S } ) = ( ._|_ ` ( U ` { x | E. i e. I x = ( ._|_ ` S ) } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   ` cfv 5888   Basecbs 15857   occoc 15949   lubclub 16942   glbcglb 16943   OPcops 34459   HLchlt 34637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-undef 7399  df-lub 16974  df-glb 16975  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-hlat 34638

This theorem is referenced by:  polval2N  35192