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Theorem hashfacen 13238
Description: The number of bijections between two sets is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfacen |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
Distinct variable groups:   A, f   B, f   C, f   D, f
Proof of Theorem hashfacen
Dummy variables g h x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7964 . 2 |- ( A ~~ B <-> E. g g : A -1-1-onto-> B )
2 bren 7964 . 2 |- ( C ~~ D <-> E. h h : C -1-1-onto-> D )
3 eeanv 2182 . . 3 |- ( E. g E. h ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) <-> ( E. g g : A -1-1-onto-> B /\ E. h h : C -1-1-onto-> D ) )
4 f1of 6137 . . . . . . . 8 |- ( f : A -1-1-onto-> C -> f : A --> C )
5 f1odm 6141 . . . . . . . . . 10 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> dom h = C )
6 vex 3203 . . . . . . . . . . 11 |- h e. _V
76dmex 7099 . . . . . . . . . 10 |- dom h e. _V
85, 7syl6eqelr 2710 . . . . . . . . 9 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> C e. _V )
9 f1odm 6141 . . . . . . . . . 10 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> dom g = A )
10 vex 3203 . . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
1110dmex 7099 . . . . . . . . . 10 |- dom g e. _V
129, 11syl6eqelr 2710 . . . . . . . . 9 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> A e. _V )
13 elmapg 7870 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. _V /\ A e. _V ) -> ( f e. ( C ^m A ) <-> f : A --> C ) )
148, 12, 13syl2anr 495 . . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f e. ( C ^m A ) <-> f : A --> C ) )
154, 14syl5ibr 236 . . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f : A -1-1-onto-> C -> f e. ( C ^m A ) ) )
1615abssdv 3676 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } C_ ( C ^m A ) )
17 ovex 6678 . . . . . . 7 |- ( C ^m A ) e. _V
1817ssex 4802 . . . . . 6 |- ( { f | f : A -1-1-onto-> C } C_ ( C ^m A ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } e. _V )
1916, 18syl 17 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } e. _V )
20 f1of 6137 . . . . . . . 8 |- ( f : B -1-1-onto-> D -> f : B --> D )
21 f1ofo 6144 . . . . . . . . . . 11 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> h : C -onto-> D )
22 forn 6118 . . . . . . . . . . 11 |- ( h : C -onto-> D -> ran h = D )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> ran h = D )
246rnex 7100 . . . . . . . . . 10 |- ran h e. _V
2523, 24syl6eqelr 2710 . . . . . . . . 9 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> D e. _V )
26 f1ofo 6144 . . . . . . . . . . 11 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> g : A -onto-> B )
27 forn 6118 . . . . . . . . . . 11 |- ( g : A -onto-> B -> ran g = B )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> ran g = B )
2910rnex 7100 . . . . . . . . . 10 |- ran g e. _V
3028, 29syl6eqelr 2710 . . . . . . . . 9 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> B e. _V )
31 elmapg 7870 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. _V /\ B e. _V ) -> ( f e. ( D ^m B ) <-> f : B --> D ) )
3225, 30, 31syl2anr 495 . . . . . . . 8 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f e. ( D ^m B ) <-> f : B --> D ) )
3320, 32syl5ibr 236 . . . . . . 7 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( f : B -1-1-onto-> D -> f e. ( D ^m B ) ) )
3433abssdv 3676 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : B -1-1-onto-> D } C_ ( D ^m B ) )
35 ovex 6678 . . . . . . 7 |- ( D ^m B ) e. _V
3635ssex 4802 . . . . . 6 |- ( { f | f : B -1-1-onto-> D } C_ ( D ^m B ) -> { f | f : B -1-1-onto-> D } e. _V )
3734, 36syl 17 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : B -1-1-onto-> D } e. _V )
38 f1oco 6159 . . . . . . . . 9 |- ( ( h : C -1-1-onto-> D /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D )
3938adantll 750 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D )
40 f1ocnv 6149 . . . . . . . . 9 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> `' g : B -1-1-onto-> A )
4140ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> `' g : B -1-1-onto-> A )
42 f1oco 6159 . . . . . . . 8 |- ( ( ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D /\ `' g : B -1-1-onto-> A ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
4339, 41, 42syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ x : A -1-1-onto-> C ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
4443ex 450 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( x : A -1-1-onto-> C -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D ) )
45 vex 3203 . . . . . . 7 |- x e. _V
46 f1oeq1 6127 . . . . . . 7 |- ( f = x -> ( f : A -1-1-onto-> C <-> x : A -1-1-onto-> C ) )
4745, 46elab 3350 . . . . . 6 |- ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } <-> x : A -1-1-onto-> C )
486, 45coex 7118 . . . . . . . 8 |- ( h o. x ) e. _V
4910cnvex 7113 . . . . . . . 8 |- `' g e. _V
5048, 49coex 7118 . . . . . . 7 |- ( ( h o. x ) o. `' g ) e. _V
51 f1oeq1 6127 . . . . . . 7 |- ( f = ( ( h o. x ) o. `' g ) -> ( f : B -1-1-onto-> D <-> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D ) )
5250, 51elab 3350 . . . . . 6 |- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) e. { f | f : B -1-1-onto-> D } <-> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
5344, 47, 523imtr4g 285 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } -> ( ( h o. x ) o. `' g ) e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) )
54 f1ocnv 6149 . . . . . . . . 9 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> `' h : D -1-1-onto-> C )
5554ad2antlr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> `' h : D -1-1-onto-> C )
56 f1oco 6159 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y : B -1-1-onto-> D /\ g : A -1-1-onto-> B ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
5756ancoms 469 . . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
5857adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
59 f1oco 6159 . . . . . . . 8 |- ( ( `' h : D -1-1-onto-> C /\ ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
6055, 58, 59syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
6160ex 450 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( y : B -1-1-onto-> D -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C ) )
62 vex 3203 . . . . . . 7 |- y e. _V
63 f1oeq1 6127 . . . . . . 7 |- ( f = y -> ( f : B -1-1-onto-> D <-> y : B -1-1-onto-> D ) )
6462, 63elab 3350 . . . . . 6 |- ( y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } <-> y : B -1-1-onto-> D )
656cnvex 7113 . . . . . . . 8 |- `' h e. _V
6662, 10coex 7118 . . . . . . . 8 |- ( y o. g ) e. _V
6765, 66coex 7118 . . . . . . 7 |- ( `' h o. ( y o. g ) ) e. _V
68 f1oeq1 6127 . . . . . . 7 |- ( f = ( `' h o. ( y o. g ) ) -> ( f : A -1-1-onto-> C <-> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C ) )
6967, 68elab 3350 . . . . . 6 |- ( ( `' h o. ( y o. g ) ) e. { f | f : A -1-1-onto-> C } <-> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
7061, 64, 693imtr4g 285 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } -> ( `' h o. ( y o. g ) ) e. { f | f : A -1-1-onto-> C } ) )
7147, 64anbi12i 733 . . . . . 6 |- ( ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } /\ y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) <-> ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) )
72 coass 5654 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) )
73 f1ococnv1 6165 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g : A -1-1-onto-> B -> ( `' g o. g ) = ( _I |` A ) )
7473ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' g o. g ) = ( _I |` A ) )
7574coeq2d 5284 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) )
7639adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D )
77 f1of 6137 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h o. x ) : A -1-1-onto-> D -> ( h o. x ) : A --> D )
78 fcoi1 6078 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h o. x ) : A --> D -> ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) = ( h o. x ) )
7976, 77, 783syl 18 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( _I |` A ) ) = ( h o. x ) )
8075, 79eqtrd 2656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. ( `' g o. g ) ) = ( h o. x ) )
8172, 80syl5req 2669 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. x ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) )
82 coass 5654 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) )
83 f1ococnv2 6163 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> ( h o. `' h ) = ( _I |` D ) )
8483ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. `' h ) = ( _I |` D ) )
8584coeq1d 5283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) )
8658adantrl 752 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D )
87 f1of 6137 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y o. g ) : A -1-1-onto-> D -> ( y o. g ) : A --> D )
88 fcoi2 6079 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y o. g ) : A --> D -> ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
8986, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( _I |` D ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
9085, 89eqtrd 2656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. `' h ) o. ( y o. g ) ) = ( y o. g ) )
9182, 90syl5eqr 2670 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) = ( y o. g ) )
9281, 91eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( y o. g ) ) )
93 eqcom 2629 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) = ( y o. g ) <-> ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) )
9492, 93syl6bb 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) ) )
95 f1of1 6136 . . . . . . . . . 10 |- ( h : C -1-1-onto-> D -> h : C -1-1-> D )
9695ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> h : C -1-1-> D )
97 f1of 6137 . . . . . . . . . 10 |- ( x : A -1-1-onto-> C -> x : A --> C )
9897ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> x : A --> C )
9960adantrl 752 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C )
100 f1of 6137 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' h o. ( y o. g ) ) : A -1-1-onto-> C -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C )
10199, 100syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C )
102 cocan1 6546 . . . . . . . . 9 |- ( ( h : C -1-1-> D /\ x : A --> C /\ ( `' h o. ( y o. g ) ) : A --> C ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' h o. ( y o. g ) ) ) )
10396, 98, 101, 102syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) = ( h o. ( `' h o. ( y o. g ) ) ) <-> x = ( `' h o. ( y o. g ) ) ) )
10426ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> g : A -onto-> B )
105 f1ofn 6138 . . . . . . . . . 10 |- ( y : B -1-1-onto-> D -> y Fn B )
106105ad2antll 765 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> y Fn B )
10743adantrr 753 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D )
108 f1ofn 6138 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( h o. x ) o. `' g ) : B -1-1-onto-> D -> ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B )
110 cocan2 6547 . . . . . . . . 9 |- ( ( g : A -onto-> B /\ y Fn B /\ ( ( h o. x ) o. `' g ) Fn B ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) )
111104, 106, 109, 110syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( ( y o. g ) = ( ( ( h o. x ) o. `' g ) o. g ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) )
11294, 103, 1113bitr3d 298 . . . . . . 7 |- ( ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) /\ ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) )
113112ex 450 . . . . . 6 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x : A -1-1-onto-> C /\ y : B -1-1-onto-> D ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) ) )
11471, 113syl5bi 232 . . . . 5 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> ( ( x e. { f | f : A -1-1-onto-> C } /\ y e. { f | f : B -1-1-onto-> D } ) -> ( x = ( `' h o. ( y o. g ) ) <-> y = ( ( h o. x ) o. `' g ) ) ) )
11519, 37, 53, 70, 114en3d 7992 . . . 4 |- ( ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
116115exlimivv 1860 . . 3 |- ( E. g E. h ( g : A -1-1-onto-> B /\ h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
1173, 116sylbir 225 . 2 |- ( ( E. g g : A -1-1-onto-> B /\ E. h h : C -1-1-onto-> D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
1181, 2, 117syl2anb 496 1 |- ( ( A ~~ B /\ C ~~ D ) -> { f | f : A -1-1-onto-> C } ~~ { f | f : B -1-1-onto-> D } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   _I cid 5023   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-en 7956
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