Theorem hashf1lem1 13239

Description: Lemma for hashf1 13241. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashf1lem2.1	|- ( ph -> A e. Fin )
hashf1lem2.2	|- ( ph -> B e. Fin )
hashf1lem2.3	|- ( ph -> -. z e. A )
hashf1lem2.4	|- ( ph -> ( ( # ` A ) + 1 ) <_ ( # ` B ) )
hashf1lem1.5	|- ( ph -> F : A -1-1-> B )

Assertion

Ref	Expression
hashf1lem1	|- ( ph -> { f | ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ~~ ( B \ ran F ) )

Distinct variable groups:   z, f   A, f   B, f   ph, f   f, F

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)   B( z)   F( z)

Proof of Theorem hashf1lem1

Dummy variables g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6101	. . . . . 6 |- ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B -> f : ( A u. { z } ) --> B )
2	1	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) -> f : ( A u. { z } ) --> B )
3		hashf1lem2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. Fin )
4		hashf1lem2.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. Fin )
5		snfi 8038	. . . . . . 7 |- { z } e. Fin
6		unfi 8227	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ { z } e. Fin ) -> ( A u. { z } ) e. Fin )
7	4, 5, 6	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A u. { z } ) e. Fin )
8	3, 7	elmapd 7871	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. ( B ^m ( A u. { z } ) ) <-> f : ( A u. { z } ) --> B ) )
9	2, 8	syl5ibr 236	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) -> f e. ( B ^m ( A u. { z } ) ) ) )
10	9	abssdv 3676	. . 3 |- ( ph -> { f | ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } C_ ( B ^m ( A u. { z } ) ) )
11		ovex 6678	. . 3 |- ( B ^m ( A u. { z } ) ) e. _V
12		ssexg 4804	. . 3 |- ( ( { f | ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } C_ ( B ^m ( A u. { z } ) ) /\ ( B ^m ( A u. { z } ) ) e. _V ) -> { f | ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. _V )
13	10, 11, 12	sylancl 694	. 2 |- ( ph -> { f | ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } e. _V )
14		difexg 4808	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( B \ ran F ) e. _V )
15	3, 14	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( B \ ran F ) e. _V )
16		vex 3203	. . . 4 |- g e. _V
17		reseq1 5390	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( f |` A ) = ( g |` A ) )
18	17	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( f = g -> ( ( f |` A ) = F <-> ( g |` A ) = F ) )
19		f1eq1 6096	. . . . 5 |- ( f = g -> ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B <-> g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) )
20	18, 19	anbi12d 747	. . . 4 |- ( f = g -> ( ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
21	16, 20	elab 3350	. . 3 |- ( g e. { f | ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } <-> ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) )
22		f1f 6101	. . . . . . 7 |- ( g : ( A u. { z } ) -1-1-> B -> g : ( A u. { z } ) --> B )
23	22	ad2antll 765	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> g : ( A u. { z } ) --> B )
24		ssun2 3777	. . . . . . 7 |- { z } C_ ( A u. { z } )
25		vex 3203	. . . . . . . 8 |- z e. _V
26	25	snss 4316	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A u. { z } ) <-> { z } C_ ( A u. { z } ) )
27	24, 26	mpbir 221	. . . . . 6 |- z e. ( A u. { z } )
28		ffvelrn 6357	. . . . . 6 |- ( ( g : ( A u. { z } ) --> B /\ z e. ( A u. { z } ) ) -> ( g ` z ) e. B )
29	23, 27, 28	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> ( g ` z ) e. B )
30		hashf1lem2.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. z e. A )
31	30	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> -. z e. A )
32		df-ima 5127	. . . . . . . . 9 |- ( g " A ) = ran ( g |` A )
33		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> ( g |` A ) = F )
34	33	rneqd 5353	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> ran ( g |` A ) = ran F )
35	32, 34	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> ( g " A ) = ran F )
36	35	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> ( ( g ` z ) e. ( g " A ) <-> ( g ` z ) e. ran F ) )
37		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> g : ( A u. { z } ) -1-1-> B )
38	27	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> z e. ( A u. { z } ) )
39		ssun1 3776	. . . . . . . . 9 |- A C_ ( A u. { z } )
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> A C_ ( A u. { z } ) )
41		f1elima 6520	. . . . . . . 8 |- ( ( g : ( A u. { z } ) -1-1-> B /\ z e. ( A u. { z } ) /\ A C_ ( A u. { z } ) ) -> ( ( g ` z ) e. ( g " A ) <-> z e. A ) )
42	37, 38, 40, 41	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> ( ( g ` z ) e. ( g " A ) <-> z e. A ) )
43	36, 42	bitr3d 270	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> ( ( g ` z ) e. ran F <-> z e. A ) )
44	31, 43	mtbird 315	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> -. ( g ` z ) e. ran F )
45	29, 44	eldifd 3585	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) -> ( g ` z ) e. ( B \ ran F ) )
46	45	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) -> ( g ` z ) e. ( B \ ran F ) ) )
47	21, 46	syl5bi 232	. 2 |- ( ph -> ( g e. { f | ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } -> ( g ` z ) e. ( B \ ran F ) ) )
48		hashf1lem1.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : A -1-1-> B )
49		f1f 6101	. . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : A --> B )
51	50	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> F : A --> B )
52		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
53	25, 52	f1osn 6176	. . . . . . 7 |- { <. z , x >. } : { z } -1-1-onto-> { x }
54		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( { <. z , x >. } : { z } -1-1-onto-> { x } -> { <. z , x >. } : { z } --> { x } )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { <. z , x >. } : { z } --> { x }
56		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( B \ ran F ) -> x e. B )
57	56	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> x e. B )
58	57	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> { x } C_ B )
59		fss 6056	. . . . . 6 |- ( ( { <. z , x >. } : { z } --> { x } /\ { x } C_ B ) -> { <. z , x >. } : { z } --> B )
60	55, 58, 59	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> { <. z , x >. } : { z } --> B )
61		res0 5400	. . . . . . 7 |- ( F |` (/) ) = (/)
62		res0 5400	. . . . . . 7 |- ( { <. z , x >. } |` (/) ) = (/)
63	61, 62	eqtr4i 2647	. . . . . 6 |- ( F |` (/) ) = ( { <. z , x >. } |` (/) )
64		disjsn 4246	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. A )
65	30, 64	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A i^i { z } ) = (/) )
66	65	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( A i^i { z } ) = (/) )
67	66	reseq2d 5396	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( F |` ( A i^i { z } ) ) = ( F |` (/) ) )
68	66	reseq2d 5396	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( { <. z , x >. } |` ( A i^i { z } ) ) = ( { <. z , x >. } |` (/) ) )
69	63, 67, 68	3eqtr4a 2682	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( F |` ( A i^i { z } ) ) = ( { <. z , x >. } |` ( A i^i { z } ) ) )
70		fresaunres1 6077	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ { <. z , x >. } : { z } --> B /\ ( F |` ( A i^i { z } ) ) = ( { <. z , x >. } |` ( A i^i { z } ) ) ) -> ( ( F u. { <. z , x >. } ) |` A ) = F )
71	51, 60, 69, 70	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( ( F u. { <. z , x >. } ) |` A ) = F )
72		f1f1orn 6148	. . . . . . . . 9 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A -1-1-onto-> ran F )
73	48, 72	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> ran F )
74	73	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> F : A -1-1-onto-> ran F )
75	53	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> { <. z , x >. } : { z } -1-1-onto-> { x } )
76		eldifn 3733	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( B \ ran F ) -> -. x e. ran F )
77	76	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> -. x e. ran F )
78		disjsn 4246	. . . . . . . 8 |- ( ( ran F i^i { x } ) = (/) <-> -. x e. ran F )
79	77, 78	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( ran F i^i { x } ) = (/) )
80		f1oun 6156	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -1-1-onto-> ran F /\ { <. z , x >. } : { z } -1-1-onto-> { x } ) /\ ( ( A i^i { z } ) = (/) /\ ( ran F i^i { x } ) = (/) ) ) -> ( F u. { <. z , x >. } ) : ( A u. { z } ) -1-1-onto-> ( ran F u. { x } ) )
81	74, 75, 66, 79, 80	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( F u. { <. z , x >. } ) : ( A u. { z } ) -1-1-onto-> ( ran F u. { x } ) )
82		f1of1 6136	. . . . . 6 |- ( ( F u. { <. z , x >. } ) : ( A u. { z } ) -1-1-onto-> ( ran F u. { x } ) -> ( F u. { <. z , x >. } ) : ( A u. { z } ) -1-1-> ( ran F u. { x } ) )
83	81, 82	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( F u. { <. z , x >. } ) : ( A u. { z } ) -1-1-> ( ran F u. { x } ) )
84		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
85	51, 84	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ran F C_ B )
86	85, 58	unssd 3789	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( ran F u. { x } ) C_ B )
87		f1ss 6106	. . . . 5 |- ( ( ( F u. { <. z , x >. } ) : ( A u. { z } ) -1-1-> ( ran F u. { x } ) /\ ( ran F u. { x } ) C_ B ) -> ( F u. { <. z , x >. } ) : ( A u. { z } ) -1-1-> B )
88	83, 86, 87	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( F u. { <. z , x >. } ) : ( A u. { z } ) -1-1-> B )
89		fex 6490	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> B /\ A e. Fin ) -> F e. _V )
90	50, 4, 89	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. _V )
91	90	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> F e. _V )
92		snex 4908	. . . . . 6 |- { <. z , x >. } e. _V
93		unexg 6959	. . . . . 6 |- ( ( F e. _V /\ { <. z , x >. } e. _V ) -> ( F u. { <. z , x >. } ) e. _V )
94	91, 92, 93	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( F u. { <. z , x >. } ) e. _V )
95		reseq1 5390	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F u. { <. z , x >. } ) -> ( f |` A ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) |` A ) )
96	95	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( f = ( F u. { <. z , x >. } ) -> ( ( f |` A ) = F <-> ( ( F u. { <. z , x >. } ) |` A ) = F ) )
97		f1eq1 6096	. . . . . . 7 |- ( f = ( F u. { <. z , x >. } ) -> ( f : ( A u. { z } ) -1-1-> B <-> ( F u. { <. z , x >. } ) : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) )
98	96, 97	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( f = ( F u. { <. z , x >. } ) -> ( ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) <-> ( ( ( F u. { <. z , x >. } ) |` A ) = F /\ ( F u. { <. z , x >. } ) : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
99	98	elabg 3351	. . . . 5 |- ( ( F u. { <. z , x >. } ) e. _V -> ( ( F u. { <. z , x >. } ) e. { f | ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } <-> ( ( ( F u. { <. z , x >. } ) |` A ) = F /\ ( F u. { <. z , x >. } ) : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
100	94, 99	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( ( F u. { <. z , x >. } ) e. { f | ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } <-> ( ( ( F u. { <. z , x >. } ) |` A ) = F /\ ( F u. { <. z , x >. } ) : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) ) )
101	71, 88, 100	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( F u. { <. z , x >. } ) e. { f | ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } )
102	101	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( B \ ran F ) -> ( F u. { <. z , x >. } ) e. { f | ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ) )
103	21	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( g e. { f | ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } /\ x e. ( B \ ran F ) ) <-> ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) )
104		simprlr 803	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> g : ( A u. { z } ) -1-1-> B )
105		f1fn 6102	. . . . . . 7 |- ( g : ( A u. { z } ) -1-1-> B -> g Fn ( A u. { z } ) )
106	104, 105	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> g Fn ( A u. { z } ) )
107	81	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> ( F u. { <. z , x >. } ) : ( A u. { z } ) -1-1-onto-> ( ran F u. { x } ) )
108		f1ofn 6138	. . . . . . 7 |- ( ( F u. { <. z , x >. } ) : ( A u. { z } ) -1-1-onto-> ( ran F u. { x } ) -> ( F u. { <. z , x >. } ) Fn ( A u. { z } ) )
109	107, 108	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> ( F u. { <. z , x >. } ) Fn ( A u. { z } ) )
110		eqfnfv 6311	. . . . . 6 |- ( ( g Fn ( A u. { z } ) /\ ( F u. { <. z , x >. } ) Fn ( A u. { z } ) ) -> ( g = ( F u. { <. z , x >. } ) <-> A. y e. ( A u. { z } ) ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) ) )
111	106, 109, 110	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> ( g = ( F u. { <. z , x >. } ) <-> A. y e. ( A u. { z } ) ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) ) )
112		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( ( g |` A ) ` y ) = ( g ` y ) )
113	112	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( g ` y ) = ( ( g |` A ) ` y ) )
114		simprll 802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> ( g |` A ) = F )
115	114	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> ( ( g |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
116	113, 115	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) /\ y e. A ) -> ( g ` y ) = ( F ` y ) )
117	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) /\ y e. A ) -> F : A -1-1-> B )
118		f1fn 6102	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A -1-1-> B -> F Fn A )
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) /\ y e. A ) -> F Fn A )
120	25, 52	fnsn 5946	. . . . . . . . . . 11 |- { <. z , x >. } Fn { z }
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) /\ y e. A ) -> { <. z , x >. } Fn { z } )
122	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) /\ y e. A ) -> ( A i^i { z } ) = (/) )
123		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) /\ y e. A ) -> y e. A )
124		fvun1 6269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ { <. z , x >. } Fn { z } /\ ( ( A i^i { z } ) = (/) /\ y e. A ) ) -> ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) = ( F ` y ) )
125	119, 121, 122, 123, 124	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) /\ y e. A ) -> ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) = ( F ` y ) )
126	116, 125	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) /\ y e. A ) -> ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) )
127	126	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> A. y e. A ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) )
128	127	biantrurd 529	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> ( A. y e. { z } ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) <-> ( A. y e. A ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) /\ A. y e. { z } ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) ) ) )
129		ralunb 3794	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( A u. { z } ) ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) <-> ( A. y e. A ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) /\ A. y e. { z } ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) ) )
130	128, 129	syl6bbr 278	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> ( A. y e. { z } ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) <-> A. y e. ( A u. { z } ) ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) ) )
131	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> z e. _V )
132	52	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> x e. _V )
133		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
134	50, 133	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom F = A )
135	134	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. dom F <-> z e. A ) )
136	30, 135	mtbird 315	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. z e. dom F )
137	136	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> -. z e. dom F )
138		fsnunfv 6453	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. _V /\ x e. _V /\ -. z e. dom F ) -> ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` z ) = x )
139	131, 132, 137, 138	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` z ) = x )
140	139	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> ( ( g ` z ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` z ) <-> ( g ` z ) = x ) )
141		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( g ` y ) = ( g ` z ) )
142		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` z ) )
143	141, 142	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) <-> ( g ` z ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` z ) ) )
144	25, 143	ralsn 4222	. . . . . 6 |- ( A. y e. { z } ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) <-> ( g ` z ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` z ) )
145		eqcom 2629	. . . . . 6 |- ( x = ( g ` z ) <-> ( g ` z ) = x )
146	140, 144, 145	3bitr4g 303	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> ( A. y e. { z } ( g ` y ) = ( ( F u. { <. z , x >. } ) ` y ) <-> x = ( g ` z ) ) )
147	111, 130, 146	3bitr2d 296	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) ) -> ( g = ( F u. { <. z , x >. } ) <-> x = ( g ` z ) ) )
148	147	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( g |` A ) = F /\ g : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( g = ( F u. { <. z , x >. } ) <-> x = ( g ` z ) ) ) )
149	103, 148	syl5bi 232	. 2 |- ( ph -> ( ( g e. { f | ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } /\ x e. ( B \ ran F ) ) -> ( g = ( F u. { <. z , x >. } ) <-> x = ( g ` z ) ) ) )
150	13, 15, 47, 102, 149	en3d 7992	1 |- ( ph -> { f | ( ( f |` A ) = F /\ f : ( A u. { z } ) -1-1-> B ) } ~~ ( B \ ran F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  hashf1lem2  13240