Theorem hoissrrn2 40792

Description: A half-open interval is a subset of R^n . (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoissrrn2.kph	|- F/ k ph
hoissrrn2.a	|- ( ( ph /\ k e. X ) -> A e. RR )
hoissrrn2.b	|- ( ( ph /\ k e. X ) -> B e. RR* )

Assertion

Ref	Expression
hoissrrn2	|- ( ph -> X_ k e. X ( A [,) B ) C_ ( RR ^m X ) )

Distinct variable group:   k, X

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k)   B( k)

Proof of Theorem hoissrrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6678	. . . . 5 |- ( A [,) B ) e. _V
2	1	rgenw 2924	. . . 4 |- A. k e. X ( A [,) B ) e. _V
3		ixpssmapg 7938	. . . 4 |- ( A. k e. X ( A [,) B ) e. _V -> X_ k e. X ( A [,) B ) C_ ( U_ k e. X ( A [,) B ) ^m X ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- X_ k e. X ( A [,) B ) C_ ( U_ k e. X ( A [,) B ) ^m X )
5	4	a1i 11	. 2 |- ( ph -> X_ k e. X ( A [,) B ) C_ ( U_ k e. X ( A [,) B ) ^m X ) )
6		reex 10027	. . . 4 |- RR e. _V
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> RR e. _V )
8		hoissrrn2.kph	. . . . 5 |- F/ k ph
9		hoissrrn2.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> A e. RR )
10		hoissrrn2.b	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> B e. RR* )
11		icossre 12254	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( A [,) B ) C_ RR )
12	9, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A [,) B ) C_ RR )
13	12	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. X -> ( A [,) B ) C_ RR ) )
14	8, 13	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. X ( A [,) B ) C_ RR )
15		iunss 4561	. . . 4 |- ( U_ k e. X ( A [,) B ) C_ RR <-> A. k e. X ( A [,) B ) C_ RR )
16	14, 15	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> U_ k e. X ( A [,) B ) C_ RR )
17		mapss 7900	. . 3 |- ( ( RR e. _V /\ U_ k e. X ( A [,) B ) C_ RR ) -> ( U_ k e. X ( A [,) B ) ^m X ) C_ ( RR ^m X ) )
18	7, 16, 17	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( U_ k e. X ( A [,) B ) ^m X ) C_ ( RR ^m X ) )
19	5, 18	sstrd 3613	1 |- ( ph -> X_ k e. X ( A [,) B ) C_ ( RR ^m X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U_ciun 4520  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   RRcr 9935   RR*cxr 10073   [,)cico 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181

This theorem is referenced by:  ovnhoilem1  40815  ovnhoilem2  40816  ovnhoi  40817  hoiqssbllem2  40837