Theorem ovnhoilem1 40815

Description: The Lebesgue outer measure of a multidimensional half-open interval is less than or equal to the product of its length in each dimension. First part of the proof of Proposition 115D (b) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnhoilem1.x	|- ( ph -> X e. Fin )
ovnhoilem1.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
ovnhoilem1.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
ovnhoilem1.c	|- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) )
ovnhoilem1.m	|- M = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) }
ovnhoilem1.h	|- H = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ovnhoilem1	|- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, j, z   B, i, j, z   i, H, j   i, I, z   i, X, j, k, z   ph, j, k

Allowed substitution hints:   ph( z, i)   A( k)   B( k)   H( z, k)   I( j, k)   M( z, i, j, k)

Proof of Theorem ovnhoilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnhoilem1.x	. . 3 |- ( ph -> X e. Fin )
2		ovnhoilem1.c	. . . . 5 |- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) )
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
4		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ k ph
5		ovnhoilem1.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A : X --> RR )
6	5	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
7		ovnhoilem1.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B : X --> RR )
8	7	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
9	8	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR* )
10	4, 6, 9	hoissrrn2 40792	. . . 4 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ ( RR ^m X ) )
11	3, 10	eqsstrd 3639	. . 3 |- ( ph -> I C_ ( RR ^m X ) )
12		ovnhoilem1.m	. . 3 |- M = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) }
13	1, 11, 12	ovnval2 40759	. 2 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) = if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) )
14		iftrue 4092	. . . . 5 |- ( X = (/) -> if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) = 0 )
15	14	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) = 0 )
16		0xr 10086	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
17	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR* )
18		pnfxr 10092	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> +oo e. RR* )
20	4, 1, 6, 8	hoiprodcl3 40794	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
21		icogelb 12225	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 0 <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
23	22	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> 0 <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
24	15, 23	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
25		iffalse 4095	. . . . 5 |- ( -. X = (/) -> if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) = inf ( M , RR* , < ) )
26	25	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) = inf ( M , RR* , < ) )
27		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } C_ RR*
28	12, 27	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- M C_ RR*
29	28	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> M C_ RR* )
30		icossxr 12258	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
31	30, 20	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR* )
32	31	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR* )
33		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. e. ( RR X. RR ) )
34	6, 8, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. e. ( RR X. RR ) )
35		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
36		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 e. RR ) -> <. 0 , 0 >. e. ( RR X. RR ) )
37	35, 35, 36	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <. 0 , 0 >. e. ( RR X. RR )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> <. 0 , 0 >. e. ( RR X. RR ) )
39	34, 38	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) e. ( RR X. RR ) )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) = ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) )
41	39, 40	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) : X --> ( RR X. RR ) )
42		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- RR e. _V
43	42, 42	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( RR X. RR ) e. _V
44	1, 43	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( RR X. RR ) e. _V /\ X e. Fin ) )
45		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( RR X. RR ) e. _V /\ X e. Fin ) -> ( ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
47	41, 46	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
49		ovnhoilem1.h	. . . . . . . . . . . 12 |- H = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) )
50	48, 49	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
51		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V
52		nnex 11026	. . . . . . . . . . . 12 |- NN e. _V
53	51, 52	elmap 7886	. . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) <-> H : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
54	50, 53	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> H e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) )
56		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
57		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) = ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. )
58	34, 57	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) : X --> ( RR X. RR ) )
59	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> H = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) ) )
60		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j = 1 -> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) = <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. )
61	60	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j = 1 -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) = ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) )
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) = ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) )
63		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. NN
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 1 e. NN )
65		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( X e. Fin -> ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) e. _V )
66	1, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) e. _V )
67	59, 62, 64, 66	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) )
68	67	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( H ` 1 ) : X --> ( RR X. RR ) <-> ( k e. X |-> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
69	58, 68	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( H ` 1 ) : X --> ( RR X. RR ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( H ` 1 ) : X --> ( RR X. RR ) )
71		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> k e. X )
72	70, 71	fvovco 39381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) = ( ( 1st ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) ) )
73	34	elexd 3214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. e. _V )
74	67, 73	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( H ` 1 ) ` k ) = <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. )
75	74	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) = ( 1st ` <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) )
76		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A ` k ) e. _V
77		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B ` k ) e. _V
78	76, 77	op1st 7176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1st ` <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) = ( A ` k )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 1st ` <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) = ( A ` k ) )
80	75, 79	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) = ( A ` k ) )
81	74	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) = ( 2nd ` <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) )
82	76, 77	op2nd 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) = ( B ` k )
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 2nd ` <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. ) = ( B ` k ) )
84	81, 83	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) = ( B ` k ) )
85	80, 84	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( 1st ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( H ` 1 ) ` k ) ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
86	72, 85	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) = ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
87	86	ixpeq2dva 7923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
88	56, 3, 87	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I = X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) )
89		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = 1 -> ( H ` j ) = ( H ` 1 ) )
90	89	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = 1 -> ( [,) o. ( H ` j ) ) = ( [,) o. ( H ` 1 ) ) )
91	90	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = 1 -> ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) )
92	91	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = 1 -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) )
93	92	ssiun2s 4564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. NN -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) )
94	63, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k )
95	88, 94	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) )
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) )
97	86	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
98	97	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) )
99	98	prodeq2dv 14653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) )
101		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. RR )
102		icossicc 12260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
103	4, 1, 69	hoiprodcl 40761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
104	102, 103	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
105	91	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = 1 -> ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) )
106	105	prodeq2ad 39824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = 1 -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) )
107	101, 104, 106	sge0snmpt 40600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. { 1 } |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) )
108	107	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) = (Σ^ ` ( j e. { 1 } |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` 1 ) ) ` k ) ) = (Σ^ ` ( j e. { 1 } |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
110		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( ph /\ -. X = (/) )
111	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> NN e. _V )
112		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
113	63, 112	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 1 } C_ NN
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> { 1 } C_ NN )
115		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. { 1 } )
116	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. { 1 } ) -> X e. Fin )
117		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. { 1 } ) -> ph )
118		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. { 1 } -> j = 1 )
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. { 1 } ) -> j = 1 )
120	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( H ` 1 ) : X --> ( RR X. RR ) )
121	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( H ` j ) = ( H ` 1 ) )
122	121	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( ( H ` j ) : X --> ( RR X. RR ) <-> ( H ` 1 ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
123	120, 122	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j = 1 ) -> ( H ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
124	117, 119, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. { 1 } ) -> ( H ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
125	124	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. { 1 } ) -> ( H ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
126	115, 116, 125	hoiprodcl 40761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. { 1 } ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
127	102, 126	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. { 1 } ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
128		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. ) = ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. )
129	38, 128	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. ) : X --> ( RR X. RR ) )
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. ) : X --> ( RR X. RR ) )
131		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ph )
132		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. ( NN \ { 1 } ) -> j e. NN )
133	132	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> j e. NN )
134	48	elexd 3214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) e. _V )
135	59, 134	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( H ` j ) = ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) )
136	131, 133, 135	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ( H ` j ) = ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) )
137		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( j e. ( NN \ { 1 } ) -> j =/= 1 )
138	137	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( j e. ( NN \ { 1 } ) -> -. j = 1 )
139	138	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j e. ( NN \ { 1 } ) -> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) = <. 0 , 0 >. )
140	139	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( NN \ { 1 } ) -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) = ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. ) )
141	140	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) = ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. ) )
142	136, 141	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ( H ` j ) = ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. ) )
143	142	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ( ( H ` j ) : X --> ( RR X. RR ) <-> ( k e. X |-> <. 0 , 0 >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
144	130, 143	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ( H ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( H ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
146		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> k e. X )
147	145, 146	fvovco 39381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) = ( ( 1st ` ( ( H ` j ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( H ` j ) ` k ) ) ) )
148	37	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- <. 0 , 0 >. e. _V
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> <. 0 , 0 >. e. _V )
150	142, 149	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( ( H ` j ) ` k ) = <. 0 , 0 >. )
151	150	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( H ` j ) ` k ) ) = ( 1st ` <. 0 , 0 >. ) )
152	16	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. _V
153	152, 152	op1st 7176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1st ` <. 0 , 0 >. ) = 0
154	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` <. 0 , 0 >. ) = 0 )
155	151, 154	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( H ` j ) ` k ) ) = 0 )
156	150	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( H ` j ) ` k ) ) = ( 2nd ` <. 0 , 0 >. ) )
157	152, 152	op2nd 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2nd ` <. 0 , 0 >. ) = 0
158	157	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` <. 0 , 0 >. ) = 0 )
159	156, 158	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( H ` j ) ` k ) ) = 0 )
160	155, 159	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( ( 1st ` ( ( H ` j ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( H ` j ) ` k ) ) ) = ( 0 [,) 0 ) )
161		0le0 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 <_ 0
162		ico0 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( 0 [,) 0 ) = (/) <-> 0 <_ 0 ) )
163	16, 16, 162	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 [,) 0 ) = (/) <-> 0 <_ 0 )
164	161, 163	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 [,) 0 ) = (/)
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( 0 [,) 0 ) = (/) )
166	147, 160, 165	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) = (/) )
167	166	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` (/) ) )
168		vol0 40175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( vol ` (/) ) = 0
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( vol ` (/) ) = 0 )
170	167, 169	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) = 0 )
171	170	prodeq2dv 14653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X 0 )
172	171	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X 0 )
173		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 e. CC )
174		fprodconst 14708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. Fin /\ 0 e. CC ) -> prod_ k e. X 0 = ( 0 ^ ( # ` X ) ) )
175	1, 173, 174	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> prod_ k e. X 0 = ( 0 ^ ( # ` X ) ) )
176	175	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> prod_ k e. X 0 = ( 0 ^ ( # ` X ) ) )
177		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. X = (/) -> X =/= (/) )
178	177	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X =/= (/) )
179	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X e. Fin )
180		hashnncl 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. Fin -> ( ( # ` X ) e. NN <-> X =/= (/) ) )
181	179, 180	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( ( # ` X ) e. NN <-> X =/= (/) ) )
182	178, 181	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( # ` X ) e. NN )
183		0exp 12895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` X ) e. NN -> ( 0 ^ ( # ` X ) ) = 0 )
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( 0 ^ ( # ` X ) ) = 0 )
185	184	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> ( 0 ^ ( # ` X ) ) = 0 )
186	172, 176, 185	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. X = (/) ) /\ j e. ( NN \ { 1 } ) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) = 0 )
187	110, 111, 114, 127, 186	sge0ss 40629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> (Σ^ ` ( j e. { 1 } |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
188	100, 109, 187	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
189	96, 188	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
190		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k i
191		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k NN
192		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) )
193	191, 192	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( j e. NN |-> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) )
194	49, 193	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k H
195	190, 194	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k i = H
196		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = H -> ( i ` j ) = ( H ` j ) )
197	196	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = H -> ( [,) o. ( i ` j ) ) = ( [,) o. ( H ` j ) ) )
198	197	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = H -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) )
199	198	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = H /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) )
200	195, 199	ixpeq2d 39237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = H -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) )
201	200	iuneq2d 4547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = H -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) )
202	201	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = H -> ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) <-> I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) )
203	198	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = H -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) )
204	203	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = H -> ( k e. X -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) )
205	195, 204	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = H -> A. k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) )
206	205	prodeq2d 14652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = H -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) )
207	206	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = H -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) )
208	207	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = H -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
209	208	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = H -> ( prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
210	202, 209	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( i = H -> ( ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
211	210	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( H e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) /\ ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( H ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
212	55, 189, 211	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
213	32, 212	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR* /\ E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
214		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( z = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) -> ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
215	214	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( z = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) -> ( ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
216	215	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( z = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) -> ( E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
217	216	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } <-> ( prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR* /\ E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
218	213, 217	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } )
219	12	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } = M
220	219	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } = M )
221	218, 220	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. M )
222		infxrlb 12164	. . . . 5 |- ( ( M C_ RR* /\ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. M ) -> inf ( M , RR* , < ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
223	29, 221, 222	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> inf ( M , RR* , < ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
224	26, 223	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
225	24, 224	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ph -> if ( X = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
226	13, 225	eqbrtrd 4675	1 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ^cexp 12860   #chash 13117   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579  voln^*covoln 40750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580  df-ovoln 40751

This theorem is referenced by:  ovnhoi  40817