Theorem ovnhoi 40817

Description: The Lebesgue outer measure of a multidimensional half-open interval is its dimensional volume (the product of its length in each dimension, when the dimension is nonzero). Proposition 115D (b) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnhoi.x	|- ( ph -> X e. Fin )
ovnhoi.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
ovnhoi.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
ovnhoi.c	|- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) )
ovnhoi.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ovnhoi	|- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, a, b, k   B, a, b, k   X, a, b, k, x   ph, a, b, k, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   I( x, k, a, b)   L( x, k, a, b)

Proof of Theorem ovnhoi

Dummy variables c d i j n z y h w l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnhoi.x	. . 3 |- ( ph -> X e. Fin )
2		ovnhoi.c	. . . . 5 |- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) )
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
4		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ k ph
5		ovnhoi.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A : X --> RR )
6	5	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
7		ovnhoi.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B : X --> RR )
8	7	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
9	8	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR* )
10	4, 6, 9	hoissrrn2 40792	. . . 4 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ ( RR ^m X ) )
11	3, 10	eqsstrd 3639	. . 3 |- ( ph -> I C_ ( RR ^m X ) )
12	1, 11	ovnxrcl 40783	. 2 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) e. RR* )
13		icossxr 12258	. . 3 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
14		ovnhoi.l	. . . 4 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
15	14, 1, 5, 7	hoidmvcl 40796	. . 3 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
16	13, 15	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) e. RR* )
17		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( X = (/) -> (voln* ` X ) = (voln* ` (/) ) )
18	17	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> ( (voln* ` X ) ` I ) = ( (voln* ` (/) ) ` I ) )
19	18	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` I ) = ( (voln* ` (/) ) ` I ) )
20		ixpeq1 7919	. . . . . . . . . . 11 |- ( X = (/) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = X_ k e. (/) ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
21		ixp0x 7936	. . . . . . . . . . . 12 |- X_ k e. (/) ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = { (/) }
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X = (/) -> X_ k e. (/) ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = { (/) } )
23	20, 22	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( X = (/) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = { (/) } )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = { (/) } )
25	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
26		reex 10027	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. _V
27		mapdm0 7872	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR e. _V -> ( RR ^m (/) ) = { (/) } )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( RR ^m (/) ) = { (/) }
29	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( RR ^m (/) ) = { (/) } )
30	24, 25, 29	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> I = ( RR ^m (/) ) )
31		eqimss 3657	. . . . . . . 8 |- ( I = ( RR ^m (/) ) -> I C_ ( RR ^m (/) ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> I C_ ( RR ^m (/) ) )
33	32	ovn0val 40764	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` (/) ) ` I ) = 0 )
34	19, 33	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` I ) = 0 )
35		0red 10041	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> 0 e. RR )
36	34, 35	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` I ) e. RR )
37		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> 0 = 0 )
38		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( X = (/) -> ( L ` X ) = ( L ` (/) ) )
39	38	oveqd 6667	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> ( A ( L ` X ) B ) = ( A ( L ` (/) ) B ) )
40	39	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = ( A ( L ` (/) ) B ) )
41	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A : X --> RR )
42		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> X = (/) )
43	42	feq2d 6031	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A : X --> RR <-> A : (/) --> RR ) )
44	41, 43	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A : (/) --> RR )
45	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> B : X --> RR )
46	42	feq2d 6031	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( B : X --> RR <-> B : (/) --> RR ) )
47	45, 46	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> B : (/) --> RR )
48	14, 44, 47	hoidmv0val 40797	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A ( L ` (/) ) B ) = 0 )
49	40, 48	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = 0 )
50	37, 34, 49	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )
51	36, 50	eqled 10140	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` I ) <_ ( A ( L ` X ) B ) )
52		eqid 2622	. . . . . 6 |- { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) }
53		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( n = 1 <-> j = 1 ) )
54	53	ifbid 4108	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> if ( n = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) = if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) )
55	54	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( k e. X |-> if ( n = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) = ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) )
56	55	cbvmptv 4750	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( k e. X |-> if ( n = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) ) = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> if ( j = 1 , <. ( A ` k ) , ( B ` k ) >. , <. 0 , 0 >. ) ) )
57	1, 5, 7, 2, 52, 56	ovnhoilem1 40815	. . . . 5 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
58	57	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` I ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
59	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X e. Fin )
60		neqne 2802	. . . . . . 7 |- ( -. X = (/) -> X =/= (/) )
61	60	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X =/= (/) )
62	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> A : X --> RR )
63	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> B : X --> RR )
64	14, 59, 61, 62, 63	hoidmvn0val 40798	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
65	64	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( A ( L ` X ) B ) )
66	58, 65	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` I ) <_ ( A ( L ` X ) B ) )
67	51, 66	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) <_ ( A ( L ` X ) B ) )
68	49, 35	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) e. RR )
69	50	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) = ( (voln* ` X ) ` I ) )
70	68, 69	eqled 10140	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) <_ ( (voln* ` X ) ` I ) )
71		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( a ` k ) = ( c ` k ) )
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) = ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) )
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = c -> ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) )
74	73	prodeq2ad 39824	. . . . . . . . . 10 |- ( a = c -> prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) = prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) )
75	74	ifeq2d 4105	. . . . . . . . 9 |- ( a = c -> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) = if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) )
76		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = d -> ( b ` k ) = ( d ` k ) )
77	76	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = d -> ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) = ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) )
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = d -> ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) )
79	78	prodeq2ad 39824	. . . . . . . . . 10 |- ( b = d -> prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) = prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) )
80	79	ifeq2d 4105	. . . . . . . . 9 |- ( b = d -> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) = if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) )
81	75, 80	cbvmpt2v 6735	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m x ) , d e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) )
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m x ) , d e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) ) )
83		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( RR ^m x ) = ( RR ^m y ) )
84		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x = (/) <-> y = (/) ) )
85		prodeq1 14639	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) = prod_ k e. y ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) )
86	84, 85	ifbieq2d 4111	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) = if ( y = (/) , 0 , prod_ k e. y ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) )
87	83, 83, 86	mpt2eq123dv 6717	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( c e. ( RR ^m x ) , d e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m y ) , d e. ( RR ^m y ) |-> if ( y = (/) , 0 , prod_ k e. y ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) ) )
88	82, 87	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) = ( c e. ( RR ^m y ) , d e. ( RR ^m y ) |-> if ( y = (/) , 0 , prod_ k e. y ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) ) )
89	88	cbvmptv 4750	. . . . 5 |- ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) ) = ( y e. Fin |-> ( c e. ( RR ^m y ) , d e. ( RR ^m y ) |-> if ( y = (/) , 0 , prod_ k e. y ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) ) )
90	14, 89	eqtri 2644	. . . 4 |- L = ( y e. Fin |-> ( c e. ( RR ^m y ) , d e. ( RR ^m y ) |-> if ( y = (/) , 0 , prod_ k e. y ( vol ` ( ( c ` k ) [,) ( d ` k ) ) ) ) ) )
91		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( w = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
92	91	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ w = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
93	92	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( E. h e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ w = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> E. h e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
94		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h = i /\ j e. NN ) -> h = i )
95	94	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( h = i /\ j e. NN ) -> ( h ` j ) = ( i ` j ) )
96	95	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h = i /\ j e. NN ) -> ( [,) o. ( h ` j ) ) = ( [,) o. ( i ` j ) ) )
97	96	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( h = i /\ j e. NN ) -> ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) )
98	97	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( h = i /\ j e. NN ) -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) )
99	98	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . 10 |- ( h = i -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) )
100	99	sseq2d 3633	. . . . . . . . 9 |- ( h = i -> ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) <-> I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) )
101		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h = i /\ k e. X ) -> h = i )
102	101	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( h = i /\ k e. X ) -> ( h ` j ) = ( i ` j ) )
103	102	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h = i /\ k e. X ) -> ( [,) o. ( h ` j ) ) = ( [,) o. ( i ` j ) ) )
104	103	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( h = i /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) )
105	104	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h = i /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) )
106	105	prodeq2dv 14653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = i -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) )
107	106	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = i -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) )
108	107	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( h = i -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
109	108	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( h = i -> ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
110	100, 109	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( h = i -> ( ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
111	110	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. h e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
112	111	a1i 11	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( E. h e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
113	93, 112	bitrd 268	. . . . 5 |- ( w = z -> ( E. h e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ w = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
114	113	cbvrabv 3199	. . . 4 |- { w e. RR* | E. h e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) /\ w = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( h ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( I C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) }
115		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j = n /\ l e. X ) -> j = n )
116	115	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( j = n /\ l e. X ) -> ( i ` j ) = ( i ` n ) )
117	116	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( j = n /\ l e. X ) -> ( ( i ` j ) ` l ) = ( ( i ` n ) ` l ) )
118	117	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( j = n /\ l e. X ) -> ( 1st ` ( ( i ` j ) ` l ) ) = ( 1st ` ( ( i ` n ) ` l ) ) )
119	118	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( j = n -> ( l e. X |-> ( 1st ` ( ( i ` j ) ` l ) ) ) = ( l e. X |-> ( 1st ` ( ( i ` n ) ` l ) ) ) )
120	119	cbvmptv 4750	. . . . 5 |- ( j e. NN |-> ( l e. X |-> ( 1st ` ( ( i ` j ) ` l ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( l e. X |-> ( 1st ` ( ( i ` n ) ` l ) ) ) )
121	120	mpteq2i 4741	. . . 4 |- ( i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) |-> ( j e. NN |-> ( l e. X |-> ( 1st ` ( ( i ` j ) ` l ) ) ) ) ) = ( i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) |-> ( n e. NN |-> ( l e. X |-> ( 1st ` ( ( i ` n ) ` l ) ) ) ) )
122	117	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( j = n /\ l e. X ) -> ( 2nd ` ( ( i ` j ) ` l ) ) = ( 2nd ` ( ( i ` n ) ` l ) ) )
123	122	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( j = n -> ( l e. X |-> ( 2nd ` ( ( i ` j ) ` l ) ) ) = ( l e. X |-> ( 2nd ` ( ( i ` n ) ` l ) ) ) )
124	123	cbvmptv 4750	. . . . 5 |- ( j e. NN |-> ( l e. X |-> ( 2nd ` ( ( i ` j ) ` l ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( l e. X |-> ( 2nd ` ( ( i ` n ) ` l ) ) ) )
125	124	mpteq2i 4741	. . . 4 |- ( i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) |-> ( j e. NN |-> ( l e. X |-> ( 2nd ` ( ( i ` j ) ` l ) ) ) ) ) = ( i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) |-> ( n e. NN |-> ( l e. X |-> ( 2nd ` ( ( i ` n ) ` l ) ) ) ) )
126	59, 61, 62, 63, 2, 90, 114, 121, 125	ovnhoilem2 40816	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( A ( L ` X ) B ) <_ ( (voln* ` X ) ` I ) )
127	70, 126	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) <_ ( (voln* ` X ) ` I ) )
128	12, 16, 67, 127	xrletrid 11986	1 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` I ) = ( A ( L ` X ) B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,)cico 12177   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579  voln^*covoln 40750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580  df-ovoln 40751

This theorem is referenced by:  vonhoi  40881