Theorem hoiqssbllem2 40837

Description: The center of the n-dimensional ball belongs to the half-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiqssbllem2.i	|- F/ i ph
hoiqssbllem2.x	|- ( ph -> X e. Fin )
hoiqssbllem2.n	|- ( ph -> X =/= (/) )
hoiqssbllem2.y	|- ( ph -> Y e. ( RR ^m X ) )
hoiqssbllem2.c	|- ( ph -> C : X --> RR )
hoiqssbllem2.d	|- ( ph -> D : X --> RR )
hoiqssbllem2.e	|- ( ph -> E e. RR+ )
hoiqssbllem2.l	|- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( C ` i ) e. ( ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) (,) ( Y ` i ) ) )
hoiqssbllem2.r	|- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( D ` i ) e. ( ( Y ` i ) (,) ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hoiqssbllem2	|- ( ph -> X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) C_ ( Y ( ball ` ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) ) E ) )

Distinct variable groups:   C, i   D, i   i, E   i, X   i, Y   ph, i

Proof of Theorem hoiqssbllem2

Dummy variables f g h j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiqssbllem2.x	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. Fin )
2		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (ℝ^ ` X ) = (ℝ^ ` X )
3		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( RR ^m X ) = ( RR ^m X )
4	2, 3	rrxdsfi 40505	. . . . . . . . 9 |- ( X e. Fin -> ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) = ( g e. ( RR ^m X ) , h e. ( RR ^m X ) |-> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( g ` i ) - ( h ` i ) ) ^ 2 ) ) ) )
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) = ( g e. ( RR ^m X ) , h e. ( RR ^m X ) |-> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( g ` i ) - ( h ` i ) ) ^ 2 ) ) ) )
6	5	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) = ( g e. ( RR ^m X ) , h e. ( RR ^m X ) |-> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( g ` i ) - ( h ` i ) ) ^ 2 ) ) ) )
7		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = Y -> ( g ` i ) = ( Y ` i ) )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = Y /\ h = f ) -> ( g ` i ) = ( Y ` i ) )
9		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = f -> ( h ` i ) = ( f ` i ) )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = Y /\ h = f ) -> ( h ` i ) = ( f ` i ) )
11	8, 10	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = Y /\ h = f ) -> ( ( g ` i ) - ( h ` i ) ) = ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) )
12	11	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = Y /\ h = f ) -> ( ( ( g ` i ) - ( h ` i ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) )
13	12	sumeq2ad 14434	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = Y /\ h = f ) -> sum_ i e. X ( ( ( g ` i ) - ( h ` i ) ) ^ 2 ) = sum_ i e. X ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( g = Y /\ h = f ) -> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( g ` i ) - ( h ` i ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ ( g = Y /\ h = f ) ) -> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( g ` i ) - ( h ` i ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) ) )
16		hoiqssbllem2.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( RR ^m X ) )
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> Y e. ( RR ^m X ) )
18		hoiqssbllem2.i	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ph
19		hoiqssbllem2.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C : X --> RR )
20	19	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( C ` i ) e. RR )
21		hoiqssbllem2.d	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D : X --> RR )
22	21	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( D ` i ) e. RR )
23	22	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( D ` i ) e. RR* )
24	18, 20, 23	hoissrrn2 40792	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) C_ ( RR ^m X ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) C_ ( RR ^m X ) )
26		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )
27	25, 26	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> f e. ( RR ^m X ) )
28		fvexd 6203	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) ) e. _V )
29	6, 15, 17, 27, 28	ovmpt2d 6788	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> ( Y ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) f ) = ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) ) )
30		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i f
31		nfixp1 7928	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) )
32	30, 31	nfel 2777	. . . . . . . . 9 |- F/ i f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) )
33	18, 32	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )
34		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> ph )
35	34, 1	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> X e. Fin )
36		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. ( RR ^m X ) -> Y : X --> RR )
37	16, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y : X --> RR )
38	37	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( Y ` i ) e. RR )
39	34, 38	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> ( Y ` i ) e. RR )
40		icossre 12254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C ` i ) e. RR /\ ( D ` i ) e. RR* ) -> ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) C_ RR )
41	20, 23, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) C_ RR )
42	41	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) C_ RR )
43		fvixp2 39389	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) /\ i e. X ) -> ( f ` i ) e. ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )
44	43	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> ( f ` i ) e. ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )
45	42, 44	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> ( f ` i ) e. RR )
46	39, 45	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) e. RR )
47		2nn0 11309	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> 2 e. NN0 )
49	46, 48	reexpcld 13025	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) e. RR )
50	33, 35, 49	fsumreclf 39808	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> sum_ i e. X ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) e. RR )
51		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( C ` i ) = ( C ` j ) )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( D ` i ) = ( D ` j ) )
53	51, 52	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) = ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
54	53	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . 11 |- X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) = X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) )
55	54	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) <-> f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
56	55	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) -> f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
57	56	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) )
58	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> X e. Fin )
59		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) /\ i e. X ) -> ph )
60	55	biimpri 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) -> f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )
61	60	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) /\ i e. X ) -> f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )
62		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) /\ i e. X ) -> i e. X )
63	59, 61, 62, 49	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) /\ i e. X ) -> ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) e. RR )
64	46	sqge0d 13036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> 0 <_ ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) )
65	59, 61, 62, 64	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) /\ i e. X ) -> 0 <_ ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) )
66	58, 63, 65	fsumge0 14527	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> 0 <_ sum_ i e. X ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) )
67	34, 57, 66	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> 0 <_ sum_ i e. X ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) )
68	50, 67	resqrtcld 14156	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
69	29, 68	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> ( Y ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) f ) e. RR )
70	22, 20	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) e. RR )
71	70	resqcld 13035	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) e. RR )
72	1, 71	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) e. RR )
73	70	sqge0d 13036	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> 0 <_ ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) )
74	1, 71, 73	fsumge0 14527	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) )
75	72, 74	resqrtcld 14156	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
76	75	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
77		hoiqssbllem2.e	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
78	77	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR )
79	78	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> E e. RR )
80		hoiqssbllem2.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X =/= (/) )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> X =/= (/) )
82	71	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) /\ i e. X ) -> ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) e. RR )
83	34, 22	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> ( D ` i ) e. RR )
84	34, 20	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> ( C ` i ) e. RR )
85	83, 84	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) e. RR )
86	20	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( C ` i ) e. RR* )
87	38	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( Y ` i ) e. RR* )
88		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 e. RR+
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
90		hashnncl 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( X e. Fin -> ( ( # ` X ) e. NN <-> X =/= (/) ) )
91	1, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( ( # ` X ) e. NN <-> X =/= (/) ) )
92	80, 91	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( # ` X ) e. NN )
93	92	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( # ` X ) e. RR )
94	92	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> 0 < ( # ` X ) )
95	93, 94	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( # ` X ) e. RR+ )
96	95	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( sqr ` ( # ` X ) ) e. RR+ )
97	89, 96	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) e. RR+ )
98	77, 97	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) e. RR+ )
99	98	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) e. RR )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) e. RR )
101	38, 100	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR )
102	101	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR* )
103		hoiqssbllem2.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( C ` i ) e. ( ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) (,) ( Y ` i ) ) )
104		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR* /\ ( Y ` i ) e. RR* /\ ( C ` i ) e. ( ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) (,) ( Y ` i ) ) ) -> ( C ` i ) < ( Y ` i ) )
105	102, 87, 103, 104	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( C ` i ) < ( Y ` i ) )
106	20, 38, 105	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( C ` i ) <_ ( Y ` i ) )
107	38, 100	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR )
108	107	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR* )
109		hoiqssbllem2.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( D ` i ) e. ( ( Y ` i ) (,) ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) ) )
110		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Y ` i ) e. RR* /\ ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR* /\ ( D ` i ) e. ( ( Y ` i ) (,) ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) ) ) -> ( Y ` i ) < ( D ` i ) )
111	87, 108, 109, 110	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( Y ` i ) < ( D ` i ) )
112	86, 23, 87, 106, 111	elicod 12224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( Y ` i ) e. ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )
113	34, 112	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> ( Y ` i ) e. ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) )
114		icodiamlt 14174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C ` i ) e. RR /\ ( D ` i ) e. RR ) /\ ( ( Y ` i ) e. ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) /\ ( f ` i ) e. ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ) < ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) )
115	84, 83, 113, 44, 114	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> ( abs ` ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ) < ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) )
116		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> 0 e. RR )
117	20, 38, 22, 106, 111	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( C ` i ) < ( D ` i ) )
118	20, 22	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( C ` i ) < ( D ` i ) <-> 0 < ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ) )
119	117, 118	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> 0 < ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) )
120	116, 70, 119	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> 0 <_ ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) )
121	70, 120	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( abs ` ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ) = ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) )
122	121	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) = ( abs ` ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ) )
123	122	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) = ( abs ` ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ) )
124	115, 123	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> ( abs ` ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ) < ( abs ` ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ) )
125	46, 85, 124	abslt2sqd 39576	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) /\ i e. X ) -> ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) < ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) )
126	59, 61, 62, 125	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) /\ i e. X ) -> ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) < ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) )
127	58, 81, 63, 82, 126	fsumlt 14532	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. X_ j e. X ( ( C ` j ) [,) ( D ` j ) ) ) -> sum_ i e. X ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) < sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) )
128	34, 57, 127	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> sum_ i e. X ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) < sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) )
129	34, 72	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) e. RR )
130	34, 74	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> 0 <_ sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) )
131	50, 67, 129, 130	sqrtltd 14166	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> ( sum_ i e. X ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) < sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) <-> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) ) < ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) ) ) )
132	128, 131	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( Y ` i ) - ( f ` i ) ) ^ 2 ) ) < ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) ) )
133	29, 132	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> ( Y ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) f ) < ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) ) )
134	78, 96	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) e. RR )
135	134	resqcld 13035	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
136	135	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
137	22, 20	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( D ` i ) e. RR /\ ( C ` i ) e. RR ) )
138	107, 101	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR /\ ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR ) )
139	137, 138	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( ( D ` i ) e. RR /\ ( C ` i ) e. RR ) /\ ( ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR /\ ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR ) ) )
140		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y ` i ) e. RR* /\ ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR* /\ ( D ` i ) e. ( ( Y ` i ) (,) ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) ) ) -> ( D ` i ) < ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) )
141	87, 108, 109, 140	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( D ` i ) < ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) )
142		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR* /\ ( Y ` i ) e. RR* /\ ( C ` i ) e. ( ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) (,) ( Y ` i ) ) ) -> ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) < ( C ` i ) )
143	102, 87, 103, 142	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) < ( C ` i ) )
144	141, 143	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( D ` i ) < ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) /\ ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) < ( C ` i ) ) )
145		lt2sub 10526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D ` i ) e. RR /\ ( C ` i ) e. RR ) /\ ( ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR /\ ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( D ` i ) < ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) /\ ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) < ( C ` i ) ) -> ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) < ( ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) - ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) ) ) )
146	139, 144, 145	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) < ( ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) - ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) ) )
147	38	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( Y ` i ) e. CC )
148	100	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) e. CC )
149	147, 148, 148	pnncand 10431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) - ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) ) = ( ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) )
150	78	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> E e. CC )
151	96	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( sqr ` ( # ` X ) ) e. CC )
152		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 2 e. CC )
153	96	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( sqr ` ( # ` X ) ) =/= 0 )
154	89	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
155	150, 151, 152, 153, 154	divdiv3d 39575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) / 2 ) = ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) )
156	155	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) = ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) / 2 ) )
157	156, 156	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) = ( ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) / 2 ) + ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) / 2 ) ) )
158	150, 151, 153	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) e. CC )
159	158	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) / 2 ) + ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) / 2 ) ) = ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) )
160	157, 159	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) = ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) )
161	160	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) = ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) )
162	149, 161	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( ( Y ` i ) + ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) - ( ( Y ` i ) - ( E / ( 2 x. ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) ) = ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) )
163	146, 162	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) < ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) )
164	134	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) e. RR )
165		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. RR )
166	96	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( sqr ` ( # ` X ) ) e. RR )
167	77	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < E )
168	96	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( sqr ` ( # ` X ) ) )
169	78, 166, 167, 168	divgt0d 10959	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) )
170	165, 134, 169	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) )
171	170	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> 0 <_ ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) )
172		lt2sq 12937	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ) /\ ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ) ) -> ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) < ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) <-> ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) < ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) ) )
173	70, 120, 164, 171, 172	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) < ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) <-> ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) < ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) ) )
174	163, 173	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) < ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) )
175	1, 80, 71, 136, 174	fsumlt 14532	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) < sum_ i e. X ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) )
176	1, 136	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ i e. X ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
177	164	sqge0d 13036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> 0 <_ ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) )
178	1, 136, 177	fsumge0 14527	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ sum_ i e. X ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) )
179	72, 74, 176, 178	sqrtltd 14166	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) < sum_ i e. X ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) <-> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) ) < ( sqr ` sum_ i e. X ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
180	175, 179	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) ) < ( sqr ` sum_ i e. X ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) ) )
181	135	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
182		fsumconst 14522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. Fin /\ ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) e. CC ) -> sum_ i e. X ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) = ( ( # ` X ) x. ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) ) )
183	1, 181, 182	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ i e. X ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) = ( ( # ` X ) x. ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) ) )
184		sqdiv 12928	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E e. CC /\ ( sqr ` ( # ` X ) ) e. CC /\ ( sqr ` ( # ` X ) ) =/= 0 ) -> ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) = ( ( E ^ 2 ) / ( ( sqr ` ( # ` X ) ) ^ 2 ) ) )
185	150, 151, 153, 184	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) = ( ( E ^ 2 ) / ( ( sqr ` ( # ` X ) ) ^ 2 ) ) )
186	93	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( # ` X ) e. CC )
187		sqrtth 14104	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` X ) e. CC -> ( ( sqr ` ( # ` X ) ) ^ 2 ) = ( # ` X ) )
188	186, 187	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( # ` X ) ) ^ 2 ) = ( # ` X ) )
189	188	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) / ( ( sqr ` ( # ` X ) ) ^ 2 ) ) = ( ( E ^ 2 ) / ( # ` X ) ) )
190	185, 189	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) = ( ( E ^ 2 ) / ( # ` X ) ) )
191	190	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( # ` X ) x. ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( # ` X ) x. ( ( E ^ 2 ) / ( # ` X ) ) ) )
192	150	sqcld 13006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
193	165, 94	gtned 10172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` X ) =/= 0 )
194	192, 186, 193	divcan2d 10803	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( # ` X ) x. ( ( E ^ 2 ) / ( # ` X ) ) ) = ( E ^ 2 ) )
195	183, 191, 194	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ i e. X ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) = ( E ^ 2 ) )
196	195	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` ( E ^ 2 ) ) )
197	165, 78, 167	ltled 10185	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ E )
198		sqrtsq 14010	. . . . . . . . 9 |- ( ( E e. RR /\ 0 <_ E ) -> ( sqr ` ( E ^ 2 ) ) = E )
199	78, 197, 198	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sqr ` ( E ^ 2 ) ) = E )
200		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E = E )
201	196, 199, 200	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( E / ( sqr ` ( # ` X ) ) ) ^ 2 ) ) = E )
202	180, 201	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) ) < E )
203	202	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> ( sqr ` sum_ i e. X ( ( ( D ` i ) - ( C ` i ) ) ^ 2 ) ) < E )
204	69, 76, 79, 133, 203	lttrd 10198	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> ( Y ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) f ) < E )
205		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) = ( dist ` (ℝ^ ` X ) )
206	205	rrxmetfi 40507	. . . . . . 7 |- ( X e. Fin -> ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) e. ( Met ` ( RR ^m X ) ) )
207		metxmet 22139	. . . . . . 7 |- ( ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) e. ( Met ` ( RR ^m X ) ) -> ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) e. ( *Met ` ( RR ^m X ) ) )
208	1, 206, 207	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) e. ( *Met ` ( RR ^m X ) ) )
209	208	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) e. ( *Met ` ( RR ^m X ) ) )
210	79	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> E e. RR* )
211	27, 3	syl6eleq 2711	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> f e. ( RR ^m X ) )
212		elbl2 22195	. . . . 5 |- ( ( ( ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) e. ( *Met ` ( RR ^m X ) ) /\ E e. RR* ) /\ ( Y e. ( RR ^m X ) /\ f e. ( RR ^m X ) ) ) -> ( f e. ( Y ( ball ` ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) ) E ) <-> ( Y ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) f ) < E ) )
213	209, 210, 17, 211, 212	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> ( f e. ( Y ( ball ` ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) ) E ) <-> ( Y ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) f ) < E ) )
214	204, 213	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) ) -> f e. ( Y ( ball ` ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) ) E ) )
215	214	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) f e. ( Y ( ball ` ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) ) E ) )
216		dfss3 3592	. 2 |- ( X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) C_ ( Y ( ball ` ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) ) E ) <-> A. f e. X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) f e. ( Y ( ball ` ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) ) E ) )
217	215, 216	sylibr 224	1 |- ( ph -> X_ i e. X ( ( C ` i ) [,) ( D ` i ) ) C_ ( Y ( ball ` ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) ) E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ^cexp 12860   #chash 13117   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   sum_csu 14416   distcds 15950   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   ballcbl 19733  ℝ^crrx 23171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-nm 22387  df-tng 22389  df-tch 22969  df-rrx 23173

This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  40838