Theorem infcvgaux1i 14589

Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 14588. Hypothesis for several supremum theorems. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
infcvg.1	|- R = { x | E. y e. X x = -u A }
infcvg.2	|- ( y e. X -> A e. RR )
infcvg.3	|- Z e. X
infcvg.4	|- E. z e. RR A. w e. R w <_ z

Assertion

Ref	Expression
infcvgaux1i	|- ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. R w <_ z )

Distinct variable groups:   x, A   x, y   z, w, R   x, X, y   x, Z, y

Allowed substitution hints:   A( y, z, w)   R( x, y)   X( z, w)   Z( z, w)

Proof of Theorem infcvgaux1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcvg.1	. . 3 |- R = { x | E. y e. X x = -u A }
2		infcvg.2	. . . . . . 7 |- ( y e. X -> A e. RR )
3	2	renegcld 10457	. . . . . 6 |- ( y e. X -> -u A e. RR )
4		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = -u A -> ( x e. RR <-> -u A e. RR ) )
5	3, 4	syl5ibrcom 237	. . . . 5 |- ( y e. X -> ( x = -u A -> x e. RR ) )
6	5	rexlimiv 3027	. . . 4 |- ( E. y e. X x = -u A -> x e. RR )
7	6	abssi 3677	. . 3 |- { x | E. y e. X x = -u A } C_ RR
8	1, 7	eqsstri 3635	. 2 |- R C_ RR
9		infcvg.3	. . . . . 6 |- Z e. X
10		eqid 2622	. . . . . 6 |- -u [_ Z / y ]_ A = -u [_ Z / y ]_ A
11	10	nfth 1727	. . . . . . 7 |- F/ y -u [_ Z / y ]_ A = -u [_ Z / y ]_ A
12		csbeq1a 3542	. . . . . . . . 9 |- ( y = Z -> A = [_ Z / y ]_ A )
13	12	negeqd 10275	. . . . . . . 8 |- ( y = Z -> -u A = -u [_ Z / y ]_ A )
14	13	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( y = Z -> ( -u [_ Z / y ]_ A = -u A <-> -u [_ Z / y ]_ A = -u [_ Z / y ]_ A ) )
15	11, 14	rspce 3304	. . . . . 6 |- ( ( Z e. X /\ -u [_ Z / y ]_ A = -u [_ Z / y ]_ A ) -> E. y e. X -u [_ Z / y ]_ A = -u A )
16	9, 10, 15	mp2an 708	. . . . 5 |- E. y e. X -u [_ Z / y ]_ A = -u A
17		negex 10279	. . . . . 6 |- -u [_ Z / y ]_ A e. _V
18		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . 9 |- F/_ y [_ Z / y ]_ A
19	18	nfneg 10277	. . . . . . . 8 |- F/_ y -u [_ Z / y ]_ A
20	19	nfeq2 2780	. . . . . . 7 |- F/ y x = -u [_ Z / y ]_ A
21		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( x = -u [_ Z / y ]_ A -> ( x = -u A <-> -u [_ Z / y ]_ A = -u A ) )
22	20, 21	rexbid 3051	. . . . . 6 |- ( x = -u [_ Z / y ]_ A -> ( E. y e. X x = -u A <-> E. y e. X -u [_ Z / y ]_ A = -u A ) )
23	17, 22	elab 3350	. . . . 5 |- ( -u [_ Z / y ]_ A e. { x | E. y e. X x = -u A } <-> E. y e. X -u [_ Z / y ]_ A = -u A )
24	16, 23	mpbir 221	. . . 4 |- -u [_ Z / y ]_ A e. { x | E. y e. X x = -u A }
25	24, 1	eleqtrri 2700	. . 3 |- -u [_ Z / y ]_ A e. R
26	25	ne0ii 3923	. 2 |- R =/= (/)
27		infcvg.4	. 2 |- E. z e. RR A. w e. R w <_ z
28	8, 26, 27	3pm3.2i 1239	1 |- ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. R w <_ z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   RRcr 9935   <_ cle 10075   -ucneg 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  infcvgaux2i  14590