Theorem supcvg 14588

Description: Extract a sequence f in X such that the image of the points in the bounded set A converges to the supremum S of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 9257. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
supcvg.1	|- X e. _V
supcvg.2	|- S = sup ( A , RR , < )
supcvg.3	|- R = ( n e. NN |-> ( S - ( 1 / n ) ) )
supcvg.4	|- ( ph -> X =/= (/) )
supcvg.5	|- ( ph -> F : X -onto-> A )
supcvg.6	|- ( ph -> A C_ RR )
supcvg.7	|- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )

Assertion

Ref	Expression
supcvg	|- ( ph -> E. f ( f : NN --> X /\ ( F o. f ) ~~> S ) )

Distinct variable groups:   x, f, F   f, n, ph   R, f, x   f, X, x   x, y, A   S, n

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( f, n)   R( y, n)   S( x, y, f)   F( y, n)   X( y, n)

Proof of Theorem supcvg

Dummy variables k m z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 1 / n ) = ( 1 / k ) )
2	1	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( S - ( 1 / n ) ) = ( S - ( 1 / k ) ) )
3		supcvg.3	. . . . . . . . . . 11 |- R = ( n e. NN |-> ( S - ( 1 / n ) ) )
4		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( S - ( 1 / k ) ) e. _V
5	2, 3, 4	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( R ` k ) = ( S - ( 1 / k ) ) )
6	5	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( R ` k ) = ( S - ( 1 / k ) ) )
7		supcvg.2	. . . . . . . . . . 11 |- S = sup ( A , RR , < )
8		supcvg.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ RR )
9		supcvg.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X =/= (/) )
10		supcvg.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F : X -onto-> A )
11		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : X -onto-> A -> F : X --> A )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : X --> A )
13		feq3 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A = (/) -> ( F : X --> A <-> F : X --> (/) ) )
14	12, 13	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A = (/) -> F : X --> (/) ) )
15		f00 6087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X --> (/) <-> ( F = (/) /\ X = (/) ) )
16	15	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : X --> (/) -> X = (/) )
17	14, 16	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A = (/) -> X = (/) ) )
18	17	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X =/= (/) -> A =/= (/) ) )
19	9, 18	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A =/= (/) )
20		supcvg.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
21	8, 19, 20	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
22		suprcl 10983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
24	7, 23	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. RR )
25		nnrp 11842	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
26	25	rpreccld 11882	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( 1 / k ) e. RR+ )
27		ltsubrp 11866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. RR /\ ( 1 / k ) e. RR+ ) -> ( S - ( 1 / k ) ) < S )
28	24, 26, 27	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S - ( 1 / k ) ) < S )
29	6, 28	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( R ` k ) < S )
30	29, 7	syl6breq 4694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( R ` k ) < sup ( A , RR , < ) )
31	21	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
32		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR )
33		resubcl 10345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. RR /\ ( 1 / n ) e. RR ) -> ( S - ( 1 / n ) ) e. RR )
34	24, 32, 33	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S - ( 1 / n ) ) e. RR )
35	34, 3	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R : NN --> RR )
36	35	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( R ` k ) e. RR )
37		suprlub 10987	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( R ` k ) e. RR ) -> ( ( R ` k ) < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A ( R ` k ) < z ) )
38	31, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( R ` k ) < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A ( R ` k ) < z ) )
39	30, 38	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> E. z e. A ( R ` k ) < z )
40	36	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ z e. A ) -> ( R ` k ) e. RR )
41	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A C_ RR )
42	41	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
43		ltle 10126	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R ` k ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( R ` k ) < z -> ( R ` k ) <_ z ) )
44	40, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ z e. A ) -> ( ( R ` k ) < z -> ( R ` k ) <_ z ) )
45	44	reximdva 3017	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E. z e. A ( R ` k ) < z -> E. z e. A ( R ` k ) <_ z ) )
46	39, 45	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> E. z e. A ( R ` k ) <_ z )
47		forn 6118	. . . . . . . . 9 |- ( F : X -onto-> A -> ran F = A )
48	10, 47	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran F = A )
49	48	rexeqdv 3145	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. ran F ( R ` k ) <_ z <-> E. z e. A ( R ` k ) <_ z ) )
50		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( F : X --> A -> F Fn X )
51		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( F ` x ) -> ( ( R ` k ) <_ z <-> ( R ` k ) <_ ( F ` x ) ) )
52	51	rexrn 6361	. . . . . . . 8 |- ( F Fn X -> ( E. z e. ran F ( R ` k ) <_ z <-> E. x e. X ( R ` k ) <_ ( F ` x ) ) )
53	12, 50, 52	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. ran F ( R ` k ) <_ z <-> E. x e. X ( R ` k ) <_ ( F ` x ) ) )
54	49, 53	bitr3d 270	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. z e. A ( R ` k ) <_ z <-> E. x e. X ( R ` k ) <_ ( F ` x ) ) )
55	54	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E. z e. A ( R ` k ) <_ z <-> E. x e. X ( R ` k ) <_ ( F ` x ) ) )
56	46, 55	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> E. x e. X ( R ` k ) <_ ( F ` x ) )
57	56	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. k e. NN E. x e. X ( R ` k ) <_ ( F ` x ) )
58		supcvg.1	. . . 4 |- X e. _V
59		nnenom 12779	. . . 4 |- NN ~~ om
60		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = ( f ` k ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( f ` k ) ) )
61	60	breq2d 4665	. . . 4 |- ( x = ( f ` k ) -> ( ( R ` k ) <_ ( F ` x ) <-> ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) )
62	58, 59, 61	axcc4 9261	. . 3 |- ( A. k e. NN E. x e. X ( R ` k ) <_ ( F ` x ) -> E. f ( f : NN --> X /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) )
63	57, 62	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. f ( f : NN --> X /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) )
64		nnuz 11723	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
65		1zzd 11408	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) -> 1 e. ZZ )
66		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
67	24	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. CC )
68		1z 11407	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
69	64	eqimss2i 3660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ NN
70		nnex 11026	. . . . . . . . . . 11 |- NN e. _V
71	69, 70	climconst2 14279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. CC /\ 1 e. ZZ ) -> ( NN X. { S } ) ~~> S )
72	67, 68, 71	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( NN X. { S } ) ~~> S )
73	70	mptex 6486	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> ( S - ( 1 / n ) ) ) e. _V
74	3, 73	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- R e. _V
75	74	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. _V )
76		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
77		divcnv 14585	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. CC -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
78	76, 77	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ~~> 0 )
79		fvconst2g 6467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. RR /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { S } ) ` k ) = S )
80	24, 79	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { S } ) ` k ) = S )
81	67	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> S e. CC )
82	80, 81	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( NN X. { S } ) ` k ) e. CC )
83		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / n ) )
84		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / k ) e. _V
85	1, 83, 84	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` k ) = ( 1 / k ) )
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` k ) = ( 1 / k ) )
87		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( 1 / k ) e. RR )
88	87	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 1 / k ) e. CC )
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / k ) e. CC )
90	86, 89	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` k ) e. CC )
91	80, 86	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( NN X. { S } ) ` k ) - ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` k ) ) = ( S - ( 1 / k ) ) )
92	6, 91	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( R ` k ) = ( ( ( NN X. { S } ) ` k ) - ( ( n e. NN |-> ( 1 / n ) ) ` k ) ) )
93	64, 66, 72, 75, 78, 82, 90, 92	climsub 14364	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R ~~> ( S - 0 ) )
94	67	subid1d 10381	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S - 0 ) = S )
95	93, 94	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ph -> R ~~> S )
96	95	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) -> R ~~> S )
97	12	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) -> F : X --> A )
98		fex 6490	. . . . . . . 8 |- ( ( F : X --> A /\ X e. _V ) -> F e. _V )
99	97, 58, 98	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) -> F e. _V )
100		vex 3203	. . . . . . 7 |- f e. _V
101		coexg 7117	. . . . . . 7 |- ( ( F e. _V /\ f e. _V ) -> ( F o. f ) e. _V )
102	99, 100, 101	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) -> ( F o. f ) e. _V )
103	35	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) -> R : NN --> RR )
104	103	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( R ` m ) e. RR )
105	12, 8	fssd 6057	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : X --> RR )
106		fco 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : X --> RR /\ f : NN --> X ) -> ( F o. f ) : NN --> RR )
107	105, 106	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f : NN --> X ) -> ( F o. f ) : NN --> RR )
108	107	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) -> ( F o. f ) : NN --> RR )
109	108	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( F o. f ) ` m ) e. RR )
110		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> ( R ` k ) = ( R ` m ) )
111		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( f ` k ) = ( f ` m ) )
112	111	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> ( F ` ( f ` k ) ) = ( F ` ( f ` m ) ) )
113	110, 112	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) <-> ( R ` m ) <_ ( F ` ( f ` m ) ) ) )
114	113	rspccva 3308	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) /\ m e. NN ) -> ( R ` m ) <_ ( F ` ( f ` m ) ) )
115	114	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( R ` m ) <_ ( F ` ( f ` m ) ) )
116		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) -> f : NN --> X )
117		fvco3 6275	. . . . . . . 8 |- ( ( f : NN --> X /\ m e. NN ) -> ( ( F o. f ) ` m ) = ( F ` ( f ` m ) ) )
118	116, 117	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( F o. f ) ` m ) = ( F ` ( f ` m ) ) )
119	115, 118	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( R ` m ) <_ ( ( F o. f ) ` m ) )
120	21	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
121	116	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( f ` m ) e. X )
122	97	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) /\ ( f ` m ) e. X ) -> ( F ` ( f ` m ) ) e. A )
123	121, 122	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( F ` ( f ` m ) ) e. A )
124		suprub 10984	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( F ` ( f ` m ) ) e. A ) -> ( F ` ( f ` m ) ) <_ sup ( A , RR , < ) )
125	120, 123, 124	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( F ` ( f ` m ) ) <_ sup ( A , RR , < ) )
126	125, 7	syl6breqr 4695	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( F ` ( f ` m ) ) <_ S )
127	118, 126	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( F o. f ) ` m ) <_ S )
128	64, 65, 96, 102, 104, 109, 119, 127	climsqz 14371	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f : NN --> X ) /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) -> ( F o. f ) ~~> S )
129	128	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ f : NN --> X ) -> ( A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) -> ( F o. f ) ~~> S ) )
130	129	imdistanda 729	. . 3 |- ( ph -> ( ( f : NN --> X /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) -> ( f : NN --> X /\ ( F o. f ) ~~> S ) ) )
131	130	eximdv 1846	. 2 |- ( ph -> ( E. f ( f : NN --> X /\ A. k e. NN ( R ` k ) <_ ( F ` ( f ` k ) ) ) -> E. f ( f : NN --> X /\ ( F o. f ) ~~> S ) ) )
132	63, 131	mpd 15	1 |- ( ph -> E. f ( f : NN --> X /\ ( F o. f ) ~~> S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by: (None)